高宏. 随机游走问题频域求解[EB/OL]. 北京：中国科技论文在线 [2020-03-04].

【摘要】随机游走问题是数学史上的一个著名问题，其解决答案被誉为数学史上250个里程碑式的重大发现之一。本文首先指出随机游走问题的本质是求解随机过程样本轨道位移特性，以及Polya使用概率分析方法在状态空间求解样本轨道特性的方法错误和将随机变量常返性用于样本轨道的概念错误。本文使用函数分析方法在频域求解随机游走样本轨道的位移特性，得出了醉汉不断远离原点的结论，从而推翻了Polya醉汉最终一定会返回原点的结论。

一、引言

        1905年，英国统计学家Pearson在《自然》杂志上公开求解随机游走（Random Walk）问题：如果一个醉汉走路时每步的方向和大小完全随机，经过一段时间之后，在什么地方找到他的可能性最大？

                      图1 醉汉随机游走

        1921年，匈牙利数学家Polya在研究随机游走问题后，提出了著名的随机游走定理，证明一维或二维随机游走返回原点的概率为100%，从而得出了醉汉最终会返回原点的结论。Polya随机游走定理被《The Math Book》誉为数学史上250个里程碑式的重大发现之一，Polya本人也被人们视为20世纪最杰出的数学家之一。日本著名数学家角谷静夫通俗形象地将Polya随机游走定理表述为：喝醉的酒鬼总能找到回家的路。因此，随机游走定理也被称为酒鬼回家定理。

                  图2 《The Math Book》

   随机游走是概率论与随机过程学科中用于描述动态随机现象的一种基本随机过程。液体中悬浮微粒的布朗运动、空气中的烟雾扩散、光纤陀螺的随机游走误差、股票市场的价格波动等动态随机现象均可用随机游走模型进行描述。

二、Polya的解题方法错误

      1、定理与随机游走过程的统计特性矛盾

        以简单随机游走过程X(n)为例，X(n)的方差D[X(n)]=n。假设“从原点出发的醉汉最终返回原点”，此时X(n)的方差D[X(n)]=0，与X(n)的方差D[X(n)]=n相矛盾，故所做假设不真，随机游走定理命题不成立。

       事实上，方差D[X(n)]刻画的是所有样本轨道偏离原点的程度，D[X(n)]=n表明大量的样本轨道（醉汉）远离原点（图3），因此，随机游走定理与事实不符。

                        图3 随机游走样本轨道

      2、简单枚举归纳推理

    仅仅证明了P(X(t)=0，i.o.)= 1，就得出醉汉一定会返回原点的结论。

    反例： P(X(t)=m，i.o.)= 1， m为任意整数，表明从原点出发的醉汉可以到达任意整数点。

       Polya只看到了一只黑天鹅，就得出了所有天鹅都是黑色的结论。

      3、研究对象错位

       Pearson的随机游走问题是求解一个醉汉在一段时间以后的位置，研究对象为单个样本轨道，而非随机变量（样本轨道集合）。

      4、研究方法错误

       随机游走为非平稳随机过程，其样本轨道没有时间意义上的统计特性，只能用函数分析方法，不能使用概率分析方法。

      5、定理与高尔顿板（Galton Board）实验结果不符

    高尔顿板（Galton Board）是英国生物统计学家高尔顿在1873年设计的实验装置，专门用来研究和演示随机现象。小球每次下落碰到钉子时，皆以1/2的概率向左或向右滚下，于是又碰到下一层钉子，如此继续下去，直到滚到底板的一个格子内为止。当有大量的小球都滚下时，最终在钉板下面不同位置收集到的小球数量，将符合正态分布。

                        图4 高尔顿板 

        小球的下降过程相当于醉汉的一维随机游走过程。小球在下落过程中逐渐向左右两个方向扩散，表明小球（醉汉）随时间远离原点。

参考文献：

高宏. 随机游走问题频域求解[EB/OL]. 北京：中国科技论文在线 [2020-03-04].

随机游走问题频域求解（高宏）.pdf