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【摘要】维纳过程是一种具有连续时间参数和连续状态空间的基本随机过程,是刻画各种复杂随机现象的数学工具。本文指出了数理金融学使用维纳过程随机变量模型在状态空间描述金融资产价格随时间演变过程的概念性错误,并根据金融资产价格与时间一一对应的函数关系,使用维纳过程样本函数来描述资产价格随时间演变的过程,建立了积分数学模型,推导出了可揭示金融资产价格运动规律的自相关函数和功率谱密度。
【关键词】价格模型;维纳过程;自相关函数;功率谱密度
一、引言
维纳过程(Wiener process)是描述复杂随机现象的基本随机过程,在自然科学、工程技术和社会科学领域有着广泛的应用。随机过程一般使用随机变量和样本函数两种变量,分别从状态空间和时域两个维度进行描述,但是维纳过程的定义及性质却是单独以随机变量的形式从状态空间给出的,不能直接用来描述随机现象随时间演变的实际过程,在应用时往往会出现概念性错误。本文指出了数理金融学直接将维纳过程的随机变量模型和状态空间统计特性用于描述金融资产价格随时间演变过程的概念性错误,并根据金融资产价格与时间一一对应的函数关系,使用维纳过程样本函数来描述金融资产价格随时间演变的过程,建立了股票价格积分模型,推导出了股票价格的自相关函数和功率谱密度。
二、维纳过程定义
定义:设{W(t),t≥0}为随机过程,如果
(1)W(0)=0;
(2)ΔW(t)为服从N(0,σ2)的平稳独立增量;
(3)对任意的t>s≥0,W(t)-W(s)~N(0,σ2(t-s))。
则称{W(t),t≥0}是参数为σ2的维纳过程,或布朗运动。
由维纳过程定义,维纳过程具有如下特性:
(1)W(t)服从(0,tσ2)正态分布;
(2)W(t)为马尔科夫过程;
(3)W(t)为鞅过程。
事实上,维纳过程 W(t)是定义在Ω ×T上的二元函数,对于固定的t∈T,W(t)是定义在状态空间Ω上的函数,称为随机变量,自变量为样本点ω;对于固定的ω∈Ω,W(t)是一个确定性的时间函数,通常称为样本函数或样本轨道,自变量为时间t。
维纳过程的定义是以随机变量形式从状态空间给出的,因此W(t)并不表示W是t的函数,它只表示t时刻随机变量W在样本空间Ω的状态。
为区别维纳过程的随机变量和样本函数,用大写字母W(t)表示随机变量,用小写字母w(t)表示样本函数。因此,维纳过程W(t)是一族样本函数w(t)的集合,所有样本函数在t时刻的取值构成了随机变量的定义域。
从维纳过程的定义可以看出,维纳过程为非平稳随机过程,不具备各态历经性,其随机变量W(t)的统计平均和样本函数w(t)的时间平均不相等。
三、应用错误
观察股票价格s随时间t的变化过程,有s和t两个变量,对于自变量t的每一个值,s都有唯一一个确定的值与它对应,因此,s是t的函数,可表示为s(t)。
设y(t)=ln s(t)为股票对数价格,则股票价格s(t)在Δt区间上的对数收益率为
《时代金融》2019年第8期
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