序：数学模型（及其建模）在科学研究项目中常常被认为是其目标任务，似乎只要能凑出一个数学模型就算成功了（虽可说多一分模型会少一半读者，但也多一分模型就多一分信任）是这样的吗？显然不完全是这样的，关键是需要理解“模型”，本文将基于本论就此做出一点剖析。

1、数学模型是什么？

（1）用数学符号和数学语句描述出来的命题（或叫系统）即数学模型，或说用特有符号和运算结构式表现出来的命题叫做数学模型。

这是经历了历史衍化而成的（区别于白话表述的）数学特有的形式，原因是白话表述属哲学而不是数学（续下）。

（2）数学建模的成功与否关键在于建模者的思想“意识”对目标对象的理解深度和准确度（不过这点更多属于哲学思辨）。

（3）原则上任何对象系统皆可用数学模型做出描述；原则上对同一对象目标可用不同分支数学去作建模分析（当然存在优劣差异）。

鉴于数学的精确性、精美性及与白话语言的绝然差异，人们对数学特别是数学模型报以恭维和景仰，实可理解。

2、数学在模型中的哪里？

首先，数学模型和建模工作主要体现在应用数学中，尽管说建模解模都是对纯数学和应用数学的通有要求也罢，毕竟各有侧重。

比如，纯数学即主要体现在模型内在的运行（推演、运算、证明）之中，诸如数学中的关隘和挑战往往都体现在这里，纯数学家的精力也主要消耗在这里，甚至在一个模型中就能折腾数学几十到几百年。

这是因为，模型内在运行是纯粹凭着逻辑在作客观推进，回避了主观因素的干预（相对说来建模则是参与了主观因素的）较之，这时的才是数学的要害。

再则，模型的内在推演和客观结论一般是超出直观的，深邃的深刻的，这正是数学（包括应用数学）特有的学科特色。

3、数学建模及其关键：  

（1）模型的建立：前提+系统理解+模型框架+改进（凑）→ 模型。

所谓“前提”，实则所要描述和刻画的目标及其基本条件假设，从宏观宇宙到基本粒子的任何对象（只要是研究目标）都可以作为建模目标（前提）作建模分析。

所谓“模型框架”，首先是选择什么样的数学分支建模，然后是（运用相应数学知识）表出（有待进一步细化的）粗型。

至于“系统理解”和“改进”分别见“（2）”、“（3）”。

（2）建模的关键。

那就是系统思维（思维决定模型），即须带着数学的基本手法（如灵活运用符号，数学语言，演绎结构等基本能力）充分观察调研对象系统（=（元素，关系）），也就是充分理解对象系统的（元素间）逻辑结构（关系）。

虽然模型的“运作”本质上是在有理数集上，但模型中的“符号”却是可以表示任何客观对象及其变动范畴的，这就使得数学的适用面是十分广泛的了。

总之，对于一个项目所建模型的优劣决定于思维能力（数学思维+哲学思辨），包括建模的方向和方式也都体现在其中。

（3）好的数学模型都是“凑”出来的。

已知，建模的过程首先是构建框架（模型类型选择下的基本结构），其次是逐步细化（引入参数），再则是综合检验（凭经验、修改，灵活），

实际上就是个反复“凑”的过程，直至所谓“满意”（即使广义相对论方程经历多年的“凑”仍非满意，比如其引力之原的猜测仍不准确（见第24讲））。

总地说来，建模是个很活的事项，尽管说思考分析是基本的，仍然体现出一个“凑”字来。

须知，所有有名的数学模型最终都是“凑”成功的。

（4）为何文科不用数学模型？

从宏观特征上说，文科属哲学范畴，而哲学是建立在“实数集”上的（哲学逻辑的基本元素是“点处”（有理点及其无穷小邻域）），这点与建立在“有理数集”上的数学间的差异（已知）是基础性的。

因此，如果让哲学用上数学模型，那就是把它（实数集上）的系统投影到有理数集上了，这对于哲学来说反而是一种遏制，

再说，数学模型得出的精细结论往往并非哲学分析所要的方向性指引。

总之，数学与哲学是各具特色各有用场的两大基础学科（尽管从总体上说数学也是少不了哲学思辨的也罢）。

4、不必迷信数学模型：     

有一种心理，下意识地认为数学万能，数学是解决一切问题的根本武器？承然，数学的精准性决定其应用范畴十分广泛，但也是有限的，根本的在于（本论揭示的）逻辑本质和实数本质（兹免）。

比如，对“终极大自然”（这一终极层次）的描述即不是靠的数学（有理“点”集上的精确逻辑）而是靠的哲学（实数集上的以“点处”为依托充分利用了无理空间机制的“辨析”）。

所谓不迷信模型即在于，一是建模是很活的，需要“凑”；二是描述同一对象的模型可以是非唯一的；三是若模型的前提条件非真，虽然仍可出结论，但已是非准确的了（当然，正确用上了数学（建模、解模）则是会产生绝“美”效果的）。

5、（例）杜氏模型简评：

近期网传一位杜传伟氏的提出一套“大统一”数学模型，虽只听到基本思路，未见详文，也不敢相信其“大统一”，但凭着本论思想从宏观上看，其建模思路是具有合理性的，可简述为这样几点：

（1）建模的空间层次。它不是直接建在“基底”实数集上的，由于数学本质上是在基底上建立起来的逐层抽象的“倒锥塔台”，杜氏“模型”是以塔中某一层作为启底层的（是合理的），该“启底层”上的元素则是（于基底上）构建起来的诸如复合函数（多页旋转性）、高维结构（抽象分析性）等（也是合理的）。

（2）声明是几何空间。表明其适用范围广，因为几何空间特别具有（能让无理数集直接参与的）“度量”性质（免赘）。

（3）在其“启底层”上的建模。根据上述思想其建模也是合理的，即能根据自己对目标系统的理解提出（创造出）自己的模型结构且使之符合其本意（凑）也是正常的（不过建模只是数学思维与哲学思辨的系综）。

结论是，从宏观的思想结构上此思路是可行的，但作为“大统一”的模型虽能凑成，却真正的要害是“模型分析”需要经受住进一步的纯数学考验，但愿该创想终能取得一定收获。

6、数学模型与计算（近似性）：

（1）可以说（猜测），所有数学模型之集（无穷集）其中具精确解者（子集）测度为0。

比如，悉知所有微分方程（无穷集）其中能得出解的（子集）测度为0；所有代数方程中能表出精确解的（子集）测度也为0。

因此猜测数学模型的求解，绝大部分是得不到解析解的，也因此历史上困扰纯数学的拦路虎本质上都来自数学模型（困扰的本质可谓实数集中基本上都是无理数）。

（2）好在应用中只需要“近似”即可，在近似意义下，所有数学皆可投影到有理数集上来成为计算问题，从这一方面来说精确的数学模型既是应用数学的基础也是其工具。

（3）在现代，数学的“计算”更成为应用数学的基本特征，因此在现代如果模型建好了作为应用勿须担心解不出来，皆可借助于计算了。

所以，数学模型与建模不仅在理论上重要，在应用中同样蛮有生机。

也许会问，既说数学模型在理论和应用中都很重要，又说不必过分迷信它，似乎有些矛盾？其实，只要了解到模型的上述实质即属自然的了。

可引申性说，当“模型”是掌握在（读者）自己手中的时，即能在不迷信的心境下自如地玩弄起模型了。