数学美：数学推导中具有高度抽象性与技巧性；数学揭示出“点处”隐藏的深刻复杂性；数学需要聪明+智慧，更需要思维+思维。

数学酷：数学从根本上赋予了社会以（作为基础的）精确标准。

但有不足：数学在应用上表现出了局限性，当然它决定于客观世界的复杂性。

多亏技术：“技术”是数、理、哲的综合集成，它能以其相对性、融合性满足了实践（社会）的需求。

本文是（在“终极大自然观”下）就既知的上述事实做出进一步理解。

一  数学的精确性

1.1 精确性基础

（1）“元素”精确性

悉知，数学的“元素”（数、几何点）在所有学科中是最小的，这点决定了数学的计算、推理结论“值”（数值点、轨迹）具备“最佳”精确性。

（2）“前提”精确性

数学理论的“前提”（包括定义、公理）是严格的，这点也决定着它的精确性和实证性。

（3）完备性

显然，“完备”也是数学中的一种精确性，且在一般学科中是最具特色的一种精确性。比如，数学的“逻辑‘象牙塔’”在数学找到了“根基”后，即成为“完备”象牙塔（完备逻辑空间）了。

1.2 数学全过程中的精确性

数学全过程归为“三阶段”：建模-演绎-结论。

（1）建模：

即问题（对象系统）的模拟、形式化描述（具一定的失真性），所建模型的质量（精确性、准确性）取决于建模者对对象系统的理解程度；任何优秀模型都是修改“拼凑”而成的。

（2）演绎：

即对模型作纯粹的（客观的）逻辑推导演算过程，是回避了主观干扰因素的，因此是最具精确性（纯粹性、客观性）的一步。

（3）结论解释：

鉴于“模型”是客观系统的一种“映射”（描述），是脱离了真实系统的“形式化”语言，因此其结论语言也是需要“解释”才能落实到客观实际的，其中存在又一次失真因素。

总之，在数学全程中并不是充满精确性的，只是以（最具精确性的）“演绎”阶段作为核心主体罢了。

1.3 实践中三层精确性

（1）哲学的：

具有思辨性，同时具有 “全时空”性（即本质上是建立在三维实数集上的），因此其空间基本元素是“单子”（=有理点+无穷小邻域）；

（2）数学的：

本质上数学是建立在有理数集上的，因此其基本元素（也是其精确性表现）是有理数“点”（即“单子”的核心）；

（3）技术的：

具有近似性，表现为所谓“鲁棒性”（来自“鲁棒域”-数学的精确点及其适当邻域），鲁棒域是大于“单子”的，因此它既是全时空的也是含有有理数集的，因此容易技术实现。

二  数学的局限性

以上看出，数学在人类社会向着“大自然”开发掘进过程中（应用中），并不是充分令人满意的，其优越性仅在于它的（重要的）基础性。

事实上，从“终极大自然观”看来，数学内在也是具有局限性的，具体表现为：

2.1 产生局限性的本质：

由于在实数（=有理数+无理数）中，数学的精确只体现在有理数（点集）上，却有理点集的测度相对为0，这就预示着数学（不是“通吃”的）是具有局限性的了。

（注：一切方程的集合“方程空间”皆有解，但能解出的“可解子空间”其测度相对为0；实数集中有理数集的测度相对为0。或说，方程空间中几乎都是不能解出的；实数中几乎都是无理数）。

2.2 在对待“无理数”上

数学在“无理数”上一直是处于被动状态的（视为无理、发散、失败，回避之），采取的是被动处理，取近似值或在运作中代之以符号参与（本质上仍是在有理空间）。

亦即数学在“无理数”上的精确只是“定义”的，并非“严格”精确，因此说数学在这里具有局限性。

2.3 在“逻辑空间”的局限性

已知数学是逻辑，而逻辑空间表现为典型与非典型两种状态，在非典型领域表现出了又一种局限性，比如在（物理空间与超空间的“接壤”处）“临界空间”即表现为非典型逻辑，在这里数、理皆处于迷茫状态。

2.4 在“无穷”概念上的局限性

客观上“无穷”归为两类，一类表现为复杂性的“组合无穷”；另一类是康托尔“集合论”意义下的“集合论无穷”。

那么，数学在这两个方面都表现出局限性，对前者，显示为复杂性如“混沌”、素数理论等即是；对后者是在“根”上（如本论中）显示出的局限性。

（幽默：“数学”犹如屈尊于“无穷”家院墙外一农工，时不时地能看见墙内的闪光，田间藤蔓也常常通向院墙内，但就是不知道墙内是什么光景。）

三  数学精确性与局限性的融合

3.1 实践与技术

在实践中，也就是“大科学”中，诸如精确性、适用性，理论性、实践性等，都是重要的了，从概念到内涵都有了各自的明确定位，原因是这时体现出的是“技术”（应用）。

亦即，归并到“技术”上来都成为技术需求的了。

当然，这时的数学，其精确性和局限性及其处置方式也都凸显出来了。

3.2 实践性与精确性

在实践中，数学的精确性不是所要求的全部（只是其基础和基准），原因是，实践与精确“二者”是个对立统一体。

从理论上显然是以数学的精确性为上乘，但在实践中却是难以保证其适用性的。

3.3 理论精确与技术精确

理论上的精确“理论精确”已如上述固然重要，但实践中的（最实用、最能用的）“精确”仍然重要，可叫做“技术精确”（鲁棒精确）。

“技术精确”的本质在于（如上述）它不只保证了在有理空间上，更是直接驰骋在完全空间上的（鲁棒邻域），是更适应实践的，也是最容易实现的。

也就是，在近似意义下数学的任何结论都是能得到实现的，并且对于实践来说这点已经够了，比如从航天工程到AI工程的成功，都是“技术精确”上的成功。

总之，理论精确是基础、技术精确是保障。

3.4 技术的融合性

由于“技术”的本质是综合（融合）了数、理、哲的实践，因此它拥有依次被包含的如下结构关系：

有理点（数）-单子（哲）-鲁棒（技）。

其中，数-哲体现了空间层次的迭进，从而进入到（完全空间中）具体的“技术”。

同时，现代计算技术也表明，整个数学都是可以“投影”到有理数集上来的，原因是本质上数学是建立在有理数集上的。

所以，“技术”产生的是数学的精确性与局限性（理论基础与实际应用）的“融合”。