一、小序

已得知，有理空间与物质空间具有对应关系；

数学空间（数学世界在有理数集上的主体）与物理空间有对应关系。

但是，数学世界中（实数的）无理数集与客观世界还没有对应，这不正常。

回过头来，进一步考察数学与其无理数集的关系得知，

原来，数学世界本身都还一直逗留在“它与无理数集的”关系上呢！

并且，这还是个历史性悬案，无怪上述问题回答不了呢。

二、第三次数学危机

数学的第一次危机产生了无理数概念；

第二次危机知道了无穷小概念；

现在来考察数学第三次危机（上世纪初）。

1、实轴结构之谜

实轴=实数=有理数集+无理数集（也强调为“连续统”）。

已知，有理数的测度（测量概念的抽象）为0，从而，有理数集的测度也为0。

但这一来，实轴的测度即等于（其真子集）无理数集的测度了，

叫做“无理数集具有全测度”，

却“无理数集”不仅是实数的真子集，而且在数学中的地位也并不显赫？

实难理解，叫它做“实轴结构之谜”，至今未破。

2、康托尔连续统猜测

19世纪末康托尔在其创立的作为数学发展里程碑的“集合论”中，贡献之一是猜测：

从可数集的“势”（数数的抽象）到不可数集（无理数集）的“势”，是直接跳上去的。

这叫做“连续统猜测”，仍然至今未破。

3、讨论

以上两个谜题属同一本质的问题，都是“无穷集”惹的祸，统称第三次数学危机。

第三次数学危机使数学意识到，数学还没有建立基础，还需要创建“数学基础”，也叫数学“寻根”。

很快发现，为此需要拓展数学范畴，叫做“数学哲学”，但仍无建树。

三、数学寻根及其评价

1、寻根史

为着数学寻根、数学基础（及所谓“数学哲学”），至今一个世纪以来，先后产生了（三大学派的）六门分支学科，本质上都是以数理逻辑为特征，纯逻辑地探索数学（在无穷中）的“根”。

但是至今，可谓“路，遥远兮，雾茫茫”。

须知，任何理论的前导都是哲学；“数学的最高境界是哲学”。

(注：为何说数学大厦尚缺根基？数学，起始于古代的生活实践，经几千年的迭进扩展升华终成“数学大厦”，但本质上只是建在有理数集上的，无理数集只是其背景和完备性的“依托”，亦即保证其完备性的“根”至今尚未明晰。)

2、评价

它们“寻根”的一个共同特点是纯数学地（或说是纯数学逻辑甚至纯数理逻辑地）去攻取。

难道纯逻辑地去攻取不好吗？

难道还离得开（无所不在的）逻辑吗？

抑或，难道说是逻辑空间有限而达不到数学之“根”的吗？

关键就在于，无理数集之中有没有逻辑？

若无理数集之中有逻辑，则它就应该与（逻辑之源）物理空间有对应，可是它们没有对应呀？

四、假设：无理数集之中没有逻辑

的确，一旦假设无理数集之中无逻辑，则包括数学史中一切（涉及无理数集的）谜题皆迎刃而解了。

比如，这一来，整个无理数空间在逻辑意义下仅相当于一个逻辑意义下的几何“点”；

从而，平行线交于无穷远“点”（等价于一个圆）；

任一圆都是个一维完备直线（所以，圆周长都是无理数）；

提升到思想上即，任意无关事物间皆可在无穷远“点”相会（万象归根）；

n维拓扑空间都是一个（共同的）紧致“点”；

即使无穷小邻域中也不满足欧式公理；

皮亚诺映射（让一维线段充满n维立方体）之谜被破解，等等，

总之，过去所有涉及无穷的玄妙问题，皆可得到解释了（将看到，由此物理学的玄妙问题也同时得到解决）。

例  无穷小的认识：

一是，有理数集稠密、可数但不可能依次数出，为什么？

就因为相邻有理点间隔着个无穷小距离；

二是，上世纪60年代提出的非标准分析，“公理化”地界定出，无穷小邻域中无逻辑，因此大获成功。

总之，无理数集（无穷）之中无逻辑，因此数学凭借纯逻辑是进不去的。

同时，数学虽然离不开无穷，但数学(在有理数集上) 的主体可以勿需无穷？

原来，无穷空间（无理数集）只是保证数学理论上完备性的需要，可说只是数学的背景空间。

五、结合到客观世界

首先问：

既然数学世界各种公开谜题几乎都来自（没有逻辑的）“无穷”世界，那么物理世界有没有来自“无穷”世界的谜题？

（将知道）必然有，同样不少，诸如物质何来、量子纠缠、暗物质等，乃至测不准性、薛定谔猫、平行宇宙等等谜题都是，只是它们不是直接显现为来自“无穷”概念的罢了。

具体说来，可作如下推理：

1、无穷空间只是保证数学完备性的，却对于物理空间，过去就连这点都还说不上？

2、逻辑是物理空间的属性，既然无理数集里没有逻辑，那么它与物理空间，难道是无缘的？

3、即使数学也不可能真正进入无穷空间，只在其“边沿”。

或相对说来，无穷空间只作为逻辑空间的“边沿”而存在。

那么，这点是否说明，物理空间终归还是有边际的，因而也是存在完备性的，且使其完备的也应该（对应于）无穷空间“点”？

答案为“是”，但为进一步证明物理空间存在其完备性，因而存在与无穷空间的关系，继续待后。

（高隆昌 E-mail:  glc5101@sina.com）