机器能够实现精确计算吗？

姜咏江

我们进行超长的数值计算，总是分段进行的。计算机进行超长位数的数值计算，也要分段进行。由于计算机运算器的位数是固定的，因而段的划分总是按着精确运算器的长度进行，即要在数值长度分段不足运算器长度时，要进行补位。

手工计算的数有小数点和正负号，而机器表示的数既无小数点也无符号。因而用机器进行数值计算就要寻找另外的符号和小数点表达方法。因为任何一个数都可以写成一个整数和一个整数次幂相乘的形式。例如 -26.567 = -26567×10^-3 = -26567×1/10³。

计算机很容易用二进制将这些数字表示出来，但无法表示符号和指数形式。其实解决整数幂的形式也很简单，只要将幂指数表示出来，让底数隐含就可以了。关键的问题是如何表示正负符号。二进制数只有0和1两个数码，许多书中都说最高位的数码是符号，这是一个严重的概念错误，因为符号是不能直接参加数值运算的。例如按照这种理解，符号1+1表示两个负数相加，结果符号位是0，变成了正数。如果认为结果是10，位数扩充了，但机器位数是有限的，最高位的进位已经丢掉了。如果下面还有进位，那么就更难判断结果的正负符号了。实际上二进制最高位0和1只是与机器表示正负数方法的一种巧合而已。

那么机器计算如何表示正负数呢？以中国的算盘为例，能否一见到算盘珠（见图1）就知道是正数还是负数？

图1  10进制算盘

这个算盘共有11位，能够表示的最大正整数是99999999999。这种固定位数的数就叫限位数。我们能否就用这11位表示正负数呢？办法是这样的：将00000000000～99999999999从中间50000000000分开，让以它为对称的两个数表面数值较大的表示较小的相反数。于是50000000001就代表-49999999999，50000000002就代表-49999999998，……。因为50000000000是自身对称的，为了避免二义性，就规定它代表-50000000000。于是这个算盘能够表达有符号整数的范围是[-50000000000,49999999999]。这种规定表示正负数的方法不用添加任何符号，被称为对称制。

对称制如果是偶数进制（2、4、6、8、10、……），判断一个数实际是正数还是负数，只要比较最高位是否比对称轴的最高位大小即可。例如，84500000000的最高位8比5大，故它表示的是一个负数。

对称制可以做加减法运算，并且可以用加法运算得到减法运算的结果。我们将用数码表示的限位数直接相加就叫限位数加法。例如03219876321+20998760452，10000000000-88888888888。

限位数的加法03219876321+20998760452=24218636773，结果正确。而10000000000-88888888888=10000000000+11111111112=21111111112，这是因为88888888888实际上是-11111111112，因而才会有上面的等式。可以证明对称制中，“减去一个限位数等于加上它的对称码”，也就是说，在对称制中用加法可以替代减法运算！

两个数码之和为最大数码，那么一个数码就叫另一个数码的反码。一个限位数的每一位数码都是另一个限位数的对应位的反码，那么这两个限位数也互称为反码。可以证明：一个限位数的对称码等于其反码加一。

这样我们要得到一个限位数的对称码就十分容易了不是？

限位数表示数的位数有限，加法运算可能会超出位数，而使实际的数值不对了，这种情况叫溢出。只要我们扩充位数，溢出就不会发生。在对称制中，保持数值不变，可以证明：负数扩充位数左面添“最大数码”，正数添“0”。例如，567扩充成11位，则有567=99999999567,因为在三位限位数中567是-433，而在11位的99999999567的值也是-433。

超过机器位数的数可以依据机器的位长，将数按位长分段，高段不足位长的要按照正负数的扩充方法补齐数码，然后将减法变成加法，并分段进位，就可以最后得到准确的结果。

实际上乘除法可以转化成连续的加减法运算，故而用机器的限位数方法可以实现整数的加减乘除运算。如果考虑小数点移位，就可以进行任何用数码表示的实数运算。

用限位数理论和方法可以让机器实现准确的算术运算，而不应认为“机器的位数越长越精确”，那是一种错误的理解。一些书中将二进制数的最高位理解成“正负号”，实际上是将“巧遇”当成“一般”，犯了不求甚解的错误。