素数基本定理是描述素数分布的一个非常重要的定理。它表明素数的密度大约是1/log(x)，即不大于x内的素数个数大约为x/log(x)。

Jacques Solomon Hadamard和Charles-Jean de la Vallée Poussin于1896年按照B. Riemann的思想首次证明。

简单地说，素数基本定理等价于黎曼zeta函数zeta(s)在实部为1的那条线上没有零点。

最近我基本上刷完了一本解析数论的书（没有做习题，但是正文命题基本上全部推导过）。里面在素数基本定理的证明中用了一个有趣的引理，叫做“3－4－1”引理。它基于如下简单事实，

由此可以得到关于黎曼zeta函数的一个不等式。

我发现这个3－4－1引理可以推广一下。

类似地，我们可以得到下面的不等式。

利用这个不等式，我们可以改进素数基本定理中的误差项，上面n的最佳取值是4或5（改进效果一样），不过改进能力有限，就不赘述了。