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球面镶嵌和环面镶嵌
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和曾老师的讨论让我联想到之前的一个想法：
球面镶嵌问题的本质是：寻找空间角的平分方法。以三维空间中任意一点为中心做任意两条三维空间的射线，形成的角度，为空间的平面角。做三条射线会形成一个三棱锥，四条射线就是四棱锥。能否按什么样的相同的平面角构成的n棱锥来“平分”一个中心点向四周发散的空间呢？这便是球面镶嵌问题的本质。
联系最近所学的“流形”概念，球面可以是“平面”的流形。环面似乎也可以是平面的流形。
所以，一个“平面”的微分元，做什么样的“轨形”流动，就会得到不同的空间立体形状。（这么理解“轨形”这个词，对吗？）
显然，球面是“平面微分元”做正交的两个空间圆的轨形的流动得到。
而环面，也是“平面微分元”做正交的两个空间圆的轨形的流动得到，只是环面的第二个圆轨的中心，并不与第一个圆轨的中心重合（象球面那样），而正好是沿着第一个圆规流动的“流动中心”。
所以，环面是二元二层的圆轨流形，球面是二元一层的圆轨流形。
这里发明了“层”这个概念，以区别于“阶”，“次”的概念，“高层轨”是以“底层轨”为“流动中心”的“动轨”。
球面和环面的“不同伦”，其实，就是其轨形的“层数”不同而已。
庞加莱猜想的实质原来如此。
回到平面镶嵌问题。
在球面能够形成周期镶嵌的图形的各个顶点，投影到球心，必定是一个多平面角围成的了个“立体角”（棱锥的顶点）。
球面镶嵌的方案，实际对应球心“立体角”均分方案。而“双圆轨正交”对应的，正是“正方形”的镶嵌单元的方案。推而广之，正多边形的球面镶嵌方案，就会对应“多圆轨斜交”的轨形方案。所以，“怎样的立体角”按多少个相交的圆轨进行“旋转流动”才能完整地均分一个点的四周空间方向，便是球面正多边形镶嵌的实质。
终于找到这些问题的联系了。
环面镶嵌由于圆轨的层次和球面不同，所以，对应的均分角对象也会不同。环面镶嵌对应的轨形均分是：
1.第一圆轨的中心角均分，中心为一固定点，即圆轨的圆心。
2.第二圆轨的中心角均分，中心为第一圆轨的动点。
这对应环面的矩形镶嵌。
由此引申：多层的多圆轨流形，将会是一种怎样的纷繁复杂和奥妙无穷的景象啊！
多层多圆轨：每层的圆轨数不同，层次数也不断，均分，准均分，随机分，对应周期，准周期，非周期镶嵌。一定是极有意思的可进行知识探险的领域。
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