数轴与实数是连续统的数与形的代表。

我居然敢提出“整数数轴”的概念来？真实“贻笑大方”了！

难怪吴老师会苦口婆心地不断指导我，而我，看上去竟是那样的无知和无畏，真是：无知者无畏啊！

还忘图和吴老师PK。我还不如去找康托尔PK啊。

 

真的完全是这样的吗？

对了一半，我无知无畏是对的，可另一半，确尚未明朗，不是还有一句：初生牛犊不怕虎吗？

呵呵，我是死要面子活受罪吗？明明是荒谬的言论，却还要找借口硬撑？

不对啊！我明明感到其中还有奥秘不为人知啊！

好吧，我就豁出去了，我出丑不要紧，反正我本来就无知。可万一，那真是个奥秘，我为了怕丑不说明白，岂不对不住我自己了？

 

知耻而后勇，让我先补充"康托尔"的“连续统”概念的知识吧。下面转摘百度百科的三段话：

 

连续统是一个数学概念。当人们笼统地说：“在实数集里实数可以连续变动”，也就可以说实数集是个连续统；更严格的描述需要使用序理论、拓扑学等数学工具。这里的连续是相对于离散的概念而言的。在不讨论精确的定义前，有时人们也会谈到一个量可以在某范围内连续取值，或者说该量的变化范围是一个连续统。在数学上，连续统这一术语至少有两种精确定义，但并不等价。另外，连续统一词有时即指实数线或者实数集，这是较旧的叫法；见连续统假设。 　　连续统在数序中的定义：与区间（0，1)对等的集合就叫做连续统，什么叫做对等呢，就是找到一个映射，使得他们之间的元素满足一一映射。 有序集在集合论中，连续统是一个拥有多于一个元素的线性序集，而且其序满足如下性质（具此性质的序称为“稠密无洞”的）： 　　稠密：在任意两个元素之间存在第三个元素 无洞：有上界的非空子集一定有上确界 实数集即为连续统的例子；实际上它是连续统的原型。以下是连续统的几个例子： 序结构与实数集同构（序同构）的集合，例如实数集里的任何开区间 扩展的实数轴，以及序同构于它的，比如单位区间。 实的半开半闭区间如 (0,1] 等，以及其序同构。 拓扑学中有一种比实数线还要长的“长线”（en:long_line） 非标准分析中的超实数集 连续统的基数康托的连续统假设有时会被叙述成“在连续统的基数和自然数的基数之间不存在任何基数”，这里的“连续统”指的是实数集；连续统的基数即特指实数集的基数。

 

为了让我的孩子也能听明白这些话，我决定将它们翻译成“小学水平的数学语言”：

1.什么叫“数值集合”？数值集合，就是把一些数列在一起。如{0,1,2}，{1.2,1.3,1.4}，{所有的整数}，{所有的实数}等。

2.什么叫“基数”？基数，就是一个数值集合中列出的数值的个数。如{0,1，2}，{1.2,1.3,1.4}的基数都是3，{所有的整数}的基数不知道是多少，一定是一个不可想象的超级大的一个整数，假设就是N0。{所有的实数}的基数也不知道是多少，也一定是一个超级大的一个整数，假设就是N1.

3.什么叫“连续统假设”？连续统假设是100多年前的一位叫“康托尔”的数学家提出的一个假设，他假设了如下的一种情况，就是：在我们在2.中提到的N0和N1之间，不可能存在另一个数Nx.什么意思呢？就是说：全体实数组成的集合的元素的个数，一定会比全体整数组成的集合的元素的个数多，但不会是“有间隔地多”，而是正好只多1个。当然，这在当时只是一个假设，后来，这个假设被数学家证明，真的是这样的。

4.什么叫“连续统”？最早，“连续统”指的就是全体实数组成的集合，后来发现：在任意一段区间的实数组成的集合，只要在定义这个区间的边界时，不要包含某一个边界的数值，这样的数值集合，也是一个连续统。

5.什么叫“连续”？连续，就是指数值集合的一个性质，也就是说，只要数值集合中的数值，符合这样2个特点，就说，这个数值集合是连续的。这个2个特点是：

1.任何2个数都能区分出大小来。

2.在任何2个数之间，总是存在第3个数。

 

6.我们通常也讲“连续的整数”，但是，整数的“连续”和实数的“连续”有什么不同呢？

整数的“连续”，只符合5.中的第1个特点，不符合第2个特点。例如：在整数集中的0和1，可以比较大小，但它们之间不存在第3个整数。而实数则不同，如，在1.2345和1.2346之间，我们能比较大小，也最少能找到第3个实数1.23455。当然，要严格证明实数是连续的，还需要更复杂的证明，这里，已经可以说明整数的连续和实数的连续有什么不同的了，即使我们不知道如何证明，我们也可以知道他们的不同，对不对？

 

7.整数的“连续”和实数的“连续”又有什么相同呢？

在6.里面说过了，就是他们都符合5.里面说的一个特点：任何两个数之间都可以比较大小，也就是说，我们总是可以把集合中的数，从大到小，或从小到大地排成一个队，对吗？

 

8.你可以用一个几何图形来表示“整数集合的连续”和“实数集合的连续”吗？

当然可以，请看：

9.有人说，我们这样做是混淆了“数轴的概念”，并要求我们去证明整数是严格连续的，你认为这种看法合理吗？

不合理。

 

10.思考题：如何在“整数的连续”和“实数的连续”之间建立更紧密的联系呢？

把实数轴上（0，1]之间的所有实数组成的集合，和整数轴上的1对应起来，

把实数轴上（1，2]之间的所有实数组成的集合，和整数轴上的2对应起来，