乘法的含义是什么？

1.求一个数自加多次的结果；

2.知道每份数和份数求总数；

3.知道长度和宽度求面积。

这些含义的本质是相同的吗？

如果本质是相同的，那么适应范围也应该是相同的。

就是，总能从不同的每一个角度来解释同样乘法算式的含义。

真的是这样的吗？

下面让我们来检验一下：

__________________step 1_______________________

先在正整数范围来检验：
例如：3X4 =12
1. 3 这个数自己加自己加4次，结果是12
2. 每份有3个，共有4份，总共有12个
3. 宽是3,长是4的长方形面积为12
顺利通过。

有问题吗？

__________________step 2_______________________

然后在正实数范围来讨论。
例如：1.5 X 2.4 = 3.6
1. 1.5这个数加自己加2.4次，结果是3.6。
2. 每份有1.5这么多，共有2.4份，总共有3.6这么多；
3. 宽是1.5，长是2.4的长方形面积是3.6；

需要拓展的理解是：
1.原来“个数”也可以是小数，就是要允许有“不完整的个”存在。
2.原来“次数”也是可以是小数的，就是要允许一件事做到中途就中止下来不再做。
3.原来份数也可以是小数，就是要允许不完整的1份存在。

小数的面积好理解，只是单位取不同就很容易理解了。例如，原来一分米为单位的数，改为用米为单位的数。这对应观察计算的细致程度不一样。
有问题吗？
基本通过

__________________step 3_______________________

现在扩展到整个实数范围来讨论，也就是包含负的实数的乘法。
例如: -1.2 X 1.5 = -1.8
1. -1.2这个数加自己加1.5次，结果是-1.8。
2. 每份有-1.2这么多，共有1.5份，总共有-1.8这么多；
3. 宽是-1.2，长是1.5的长方形面积是-1.8；

需要拓展的理解是：
1.个数可以是负数，表示缺少的个数。
2.每份数也可以是负数，表示每份不足的数量；
3.宽度可以是负数，表示？
4.面积可以是负数，表示？
能请vigorous 老师试着来解释一下为什么会这样？

vigorous 老师解释如下：

1.2所说的乘法，是一维空间上的乘法。
3.所说的乘法，是一维空间上朝二维空间上进行扩展的乘法。
这是2种完全不同的乘法。

严格意义上来说：求面积的乘法，不能叫做“乘法”，而是“积分”。
1.2所说的2个乘法因子，是对应同一个“方向”的增长因子。就像一根绳子，对折3段，每段5米，总长3X5米，就是15米。其中的3和5都是沿绳子长度方向的度量。也就是说，其中的因子3，和因子5，如果画在数轴上，是相互“平行”的（方向重合的）。这是在同一维上的成倍增长。

而3所述的“乘法”，是对应两个正交方向上的增长因子。一个宽3米，长5米的房间的面积中的3和5，是相互垂直的方向上的数量。从数量单位上也可以看出：二者的乘积得到的数量的单位，和原来的单位已经不一样了。3米X5米 = 15平方米了，而绳子则是3段X5米/段 = 15米。
一个得到的结果仍然是在一维空间上的度量；另一个得到的结果是二维空间上的度量。
这个差异的语义区别，是我们通常没有注意到的。
当我们从低维向高维扩展时，我们所做的“扩维操作”和我们在低维上的“倍率”操作的含义，是严格不同的。

考虑到方向问题，我们扩展如下理解：

淡定一点，再看一个例子：
-2 X (-6) = 12
1. -2这个数加自己加-6次，结果是12。
2. 每份有-2这么多，共有-6份，总共有12这么多；
3. 宽是-2，长是-6的长方形面积是12；

现在需要拓展理解的是：
1.次数可以是负数；是还需要做的次数的意思吗？
2.份数也可以是负数；是缺少了这么多份的意思吗？
3.负方向的长度和宽度表示的面积为什么是多出来的面积？
1,2已经彻底没问题了，第3个问题有点费解了。
在长度方向和宽度方向分别都让步了2和6，我的面积反而多出来了12。
vigorous 老师， 您的大脑思维还能跟得上吗？
提示：图中的十字箭头线不是坐标轴，只表示A国国界扩大的正方向。

vigorous老师的回答是： 
说实话就是加减号和正负号混淆的一个问题，而且从常识上看减去长，减去宽，必然（减去了）正面积，而不是获得了。另外减去或得到的是面积而不仅仅是单独的长或宽。

我的初步分析：

关键是：由于同样的乘法，同样的计算结果，却不能同样按一惯的语义来解释，所以，我们现在真的就可以断定了：在二维上计算面积的乘法和在一维上计算倍率的乘法，在本质上是不同的运算类型（学术一点说，应该是不同的逻辑谓词），虽然名字都叫乘法，符号也用的是同一个，但实际只是在某种条件下，算面积的乘法和算倍率的乘法在数量关系上是一致的，并且能维持正常的逻辑语义，这正好起到了掩盖他们本来就不同的本质的作用。一旦我们变换环境条件，他们本质不同的马脚就暴露无遗。

本楼就可以到此为止了吗？

不！

另人震惊的谜底，往往就在我们不经意的疏忽中。

如果我们就此打住，我们就这样轻易地放过这个“本质不同”了，

vigorous 老师，您能最后一次再尝试猜猜这个简单而令人震惊的谜底是什么吗？
____________________ Step 5 _________________________________________

这个简单而令人震惊的谜底是：被我们敬仰已久的布尔逻辑，只是“半一维”的逻辑。

当我们的大脑的“空间数值计算”的水平已经达到十维，甚至借助电脑已经达到两百多维的时候，我们的“空间逻辑计算”能力却始终停留在“半一维”的水平！

何为“半一维”逻辑计算？就是只能在1维的逻辑数轴上的0和正逻辑数1上进行计算。

数值计算，实际上可以看成是“逻辑计算”和“正数值”计算的混合，如：

在一维的数值计算中：

-2 X (-6) = [（-1）X 2] X [(-1) X 6] = [(-1)X(-1)] X [2 X 6] = 1 X 12 = 12

2 X (-6) = [（1）X 2] X [(-1) X 6] = [(1)X(-1)] X [2 X 6] = (-1) X 12 = -12

2 X 6 = [1 X 2] X [ 1 X 6 ]  = [（1）X (1)] X [2 X 6] =  1 X 12 = 12

0 X (-6) =[0 X 1] X [(-1) X 6 ] = [ 0 X (-1) ] X [1 X 6] = 0 X 6 = 0

0 X 6 = [0 X 1] X [1 X 6] = [0X1] X [1 X 6] = 0 X 6 = 0

将上述式子中的黑体部分提取出来，就是：

0 X 1 = 0 ---------------(1)

1 X 1 = 1 ---------------(2)

0 X (-1) = 0 ------------(3)

1 X (-1) = -1 -----------(4)

(-1) X (-1) = 1----------(5)

其中(1),(2)式表达了布尔逻辑的“与”运算规则。

而（3），（4），（5）则是扩展了负逻辑之后的“一维三态逻辑”的和负逻辑数（-1）相关的“与运算”规则。

为什么要强调是一维的逻辑？

这和我们已经明确的三个乘法的本质含义，只有算倍率的1,2是相同的，是一维上的乘法，而算面积的3的乘法，是二维上的乘法，是一个道理。二维上的数值计算和一维上的数值计算一样，可以认为是二维逻辑计算与二维正数计算的混合。

而二维的逻辑计算规则和一维的逻辑计算规则存在不同，则是本楼的谜底的谜底。

我们不难理解，二维三态逻辑“与计算”的规则应该是：

1 X 1 = 1-------------理解：两向都有多，总的才有多；

0 X 1 = 0-------------理解：只要1向没有，总的就没有；

0 X (-1) = 0----------理解：只要1向没有，总的就没有；

1 X (-1) = -1---------理解：只要1向有少，总的就有少；

(-1) X 1 = -1---------理解：只要1向有少，总的就有少； 

(-1) X (-1) = -1------理解：两向都有少，总的当然也有少； 

如此自然的二维三态逻辑，只是逻辑计算从1维向2维迈出的一小步。人类却用掉了100多年的时间才取得突破。真是遗憾！

_____________________ The end _____________________________________________