【开篇语】

微分概念在整个微积分体系中占有重要地位。理解微分概念是微积分教育的重要环节。在历史上，微分的定义经历了很长时间的发展。牛顿、莱布尼兹是微积分的主要创建人，他们的微积分可以称为第一代微积分，第一代微积分的方法是没有问题的，而且获得了巨大的成功，但是对微分的定义（即微分的本质到底是什么）的说明不够清楚；以柯西、维尔斯特拉斯等为代表的数学家在极限理论的基础上建立了微积分原理，可以称之为第二代微积分，并构成当前教学中微积分教材的主要内容。第二代微积分与第一代微积分在具体计算方法上基本相同，第二代微积分表面上解决了微分定义的说明，但是概念和推理繁琐迂回。

当前，围绕微分定义问题，国内外学术界已经开始形成一些讨论，参与者从科学院院士，中青年数学工作者，以致在读博士硕士，当然也包括一些毫无话语权的“N无数学家”。但真理面前人人平等，只要我们抱着持之有故言之成理的科学态度，相信会引发深刻的思考。

为了使得微分定义的讨论更加深入，并且有充足的养料支撑，有必要将古今中外现行微积分学术著作中的微分定义详细调查。从今天起，我将在我所搜集整理的微积分定义逐次摘录在网上，方便大家讨论。在摘录的同时，将做一些简单的讨论。

                 【中国科学技术大学】

1、

定义：设函数$f$在$(a,b)$内有定义，且${{x}_{0}}\in \left( a,b \right)$。如果存在一个常数$\lambda $，使得

$f\left( {{x}_{0}}+\Delta x \right)-f({{x}_{0}})=\lambda \Delta x+o(\Delta x)$，$\Delta x\to 0$，

则称函数f在点${{x}_{0}}$处可微；函数的改变量的线性主要部分$\lambda \Delta x$称为$f$在${{x}_{0}}$处的微分，记为$df\left( {{x}_{0}} \right)$.

如果函数$f$在$(a,b)$内可微，那么$df(x)=f'(x)\Delta x$对于一切$x\in (a,b)$都成立。对特殊$f(x)=x$函数，这时

$dx=(x)'\Delta x\text{=}\Delta x$.

这表明，当$x$是自变量我们有$dx=\Delta x$，即是说他的改变量就是自变量的微分，这样一来，函数的微分就可以改写成：$df(x)=f'(x)dx$

参考文献：

[1] 常庚哲，史济怀.数学分析教程上册[M].北京:高等教育出版社.2003.5.189

2

和微商概念紧密关联的是微分的概念。设函数$y=f(x)$在点$x$处有微商$f'(x)$，则自变量的改变量$\Delta x$与这微商的乘积$f'(x)\Delta x$叫做函数$y=f(x)$在点$x$的微分，记作

$dy=f'(x)\Delta x$    (1)

特别取函数$y=x$，则$f'(x)=x'=1$.因此，函数$y=x$的微分

$dx=1\centerdot \Delta x=\Delta x$,

即自变量的微分就是自变量的改变量，因此可把（1）改写为

$dy=f'(x)dx$

参考文献：

[1] 龚昇.简明微积分（第四版）[M].北京:高等教育出版社.2005.24-25.

3 

给定一个函数$y=f\left( x \right)$，对应于自变量的改变量$\Delta x$，函数的改变量是$\Delta y$，则当$\Delta x\to 0$时，比$\frac{\Delta y}{\Delta x}$的极限（如果存在的话）叫做这函数的微商。微商记成为${y}'$或${f}'\left( x \right)$：

${y}'={f}'\left( x \right)=\underset{\Delta x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\Delta y}{\Delta x}=\underset{\Delta x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{f\left( x+\Delta x \right)-f\left( x \right)}{\Delta x}$.

一个函数的微商与自变量的微分的乘积，称为这个函数的微分。用$dy$或$df(x)$来记它，也就是

$dy=df(x)=f'(x)dx$.

所以微商就是微分的商：

$\frac{d y}{d x}=f^{\prime}(x)$.

参考文献：

[1] 华罗庚.高等数学引论（第一册）[M].北京:高等教育出版社.2009.02.126,142.

4、

只定义了导数，没有定义微分

参考文献：

[1] 徐森林，薛春华.数学分析第一册[M].北京:清华大学出版社.2005.9.

５、

定义  设函数$y=f\left( x \right)$在点$x$的一个邻域内有定义。若函数$y=f\left( x \right)$在点$x$的改变量$dy$与自变量$x$的改变量$dx$的关系可表示为

$\Delta y=A\Delta x+o\left( \Delta x \right)$

其中$A$与$\Delta x$无关，$o\left( \Delta x \right)$是比$\Delta x$高级的无穷小量，则称函数$f\left( x \right)$在点$x$有微分，并把$A\Delta x$称为函数$f\left( x \right)$在点$x$的微分，记为

$dy=A\Delta x$ 或$df\left( x \right)=A\Delta x$.

一般把自变量$x$的改变量$\Delta x$叫做自变量$x$的微分，记作

$\Delta x=dx$

于是函数$f(x)$在点$x$的微分表达式又可记为

$dy=f'(x)dx$

其中的$dx$与$dy$现在都有完全确定的意义，它们分别为自变量$x$与因变量$y$的微分。

参考文献：

[1] 中国科学技术大学高等数学教研室.高等数学导论上册（第二版）[M]. 中国科学技术大学出版社.1995.144-146.