主要内容：主要概括现有体系中三种实数的构造理论，分别为康托尔极限形式、戴德金分割形式、博尔查诺区间套形式三种。理解并说明，实数的性质，包括实数系的有序性、稠密性、实数的运算性质，重点理解实数的连续性（完备性）。

       数轴是由点构成的，但数轴上的点构成的数系有哪些性质，却是直到十九世纪才慢慢被认识与完善。在第一部分，我们简要介绍了数系的发展，我们从自然数开始，到整数，到有理数，到无理数，其间还定义了代数数与超越数。有理数的性质我们是基本清楚，然而对于无理数却仍然没有认识到它的全部性质。微积分基础理论的奠定需要实数理论的支撑，因此研究实数性质就成为当时数学的核心问题。整数是在自然数基础上构造的，即对自然数运用减法运算，必须扩展原有数系。

      有理数是在整数基础上构造的，形如 P/Q（Q≠0）便定义为有理数，其中 P，Q 均为整数。无理数是作为有理数的补集出现的，由于目前为止对于无理数的性质仍没有全面把握，故没有特定的符号来表示无理数集。到此，我们看见，数学史的发展某种程度上伴随着数系的扩展。如上所说，整数在自然数基础上扩展，有理数在整数基础上扩展。那么实数的构造也一定是在有理数系的基础上构造起来的。

      当前实数理论部分主要的典型的构造方法包括戴德金分割，博尔查诺的区间套方法以及康托尔的柯西列的方法。可以证明，上述三类方法是等价的。

      实数的性质有很多，除满足加减乘除等运算之外，（此处需补充过渡引出这三种性质，极限运算的封闭性，数轴上的数的有序/稠密/连续引出）最重要的三类性质就是实数的有序性、稠密性、以及连续性（或称完备性）。这里主要介绍后三种性质。

       实数的有序性，简单理解就是两个实数，如 a 和 b，只存在三类关系即 a=b,a>b,a<b.除此之外没有其他关系。几何的理解就是数轴上的点一个个排列，有良好的秩序。

       实数的稠密性，就是实数非常之多，任意给定两个实数，总可以在两实数之间构造无穷多的数。比如给定 a,b，则有 c=（a+b）/2,c 位于 a、b 之间，同时，a 和 c，c 和 b 之间有可以构造，即表示实数无穷之多。这里需要指出的是，有理数也有稠密性的性质，但整数没有这个性质，大家可以自行证明。

       实数最重要的一个性质是连续性，或者[说极限运算的存在性封闭性]成为完备性。这个性质需要在与有理数性质的照之中理解。我们刚才说有理数有稠密性，但稠密性意味着非常“多”，但并不意味着非常“全”。怎么理解呢？比如在数轴上，区间[1，2]上有理数非常多，另一方面，我们可以肯定√2 位于[1,2]之上，但√2却又不能用有理数表示出来，这就是说数轴上除了有理数之外还有许多“空”很多“缺口”。但在实数域中讨论这个问题，却不存在这个问题，因为√2就是实数的一部分。因此数轴是由有理数构成的，这句话是错误的，因为还有很多空；但数轴是由实数构成的，这句话却全然没有任何问题。这就是实数的完备性。这个性质的直观意思是：经过把有理数系按照某种构造的方式扩充为实数系后，存在于有理数之间的“空洞”已经全部填满了，再没有空洞可填了。理解这个问题，还有一个生动的例子。就是现在有一个数轴，上面若只有整数，那么我拿一把青龙偃月刀砍过去，我可能啥都没砍到，运气好点可能砍到整数，因为整数相对稀疏；进而，上面只有有理数，那么我拿一把青龙偃月刀砍过去，我可能砍到有理数，也可能啥都砍不到，但砍到的概率会比较大，因为有理数是稠密的。但是如果有一个数轴，上面只有实数，那么我拿一把青龙偃月刀砍过去，那我一定可以砍到数，不存在砍不到的情况，因为实数是连续的完备的。

       在我们说数轴是由点构成的时候，实际上，我们已经在几何与代数之间，或者数与形之间建立起了联系。在十六世纪以前，几何和代数的发展是相对独立的，几何有其优点，即直观形象，代数也有其优点，即严谨周密。当然，有其优点亦必有其缺点，而如何将两者结合起来就成了那个时代的一个问题。笛卡尔坐标系的建立在某种意义上打通了代数与几何，从而使得用图形表示代数、函数，用函数、代数解析图形成为可能，因此诞生一门综合了几何图形和代数方程的新的数学学科——解析几何——推动了数学的发展。数与形建立起联系，是笛卡尔对数学的一大贡献。同时，数形结合成为数学研究的一种新的视角。

       数形结合的观点，深刻的影响了数学的发展。在上文中，我们已经详尽的介绍了数系的发展，我们认识到数轴上的点对应于实数，即实数填满数轴。在此，我们有必要回顾一下，几何中点的相关规定。在欧几里得几何中，点是空间中只有位置、没有大小的图形，是整个欧几里得几何学的基础。用我们所熟悉的语言来表示，即点构成线，线构成面，面构成体。同时，我们必须清楚，虽然点构成线，但是点是没有长度的。在面中，可以用面积来对其测量表示，但是线无面积，而点更是没有长度也因此没有面积。在这当中，隐含一个东西，即没有 长度的点经过无限次的累计，构成了线；而没有面积的线经过无限次的累计，构成了面。一句话，在这种论述当中，总给人以“无中生有”的感觉。实际上，这就是我们当前讨论的几何模型。而与形相对，我们讨论数，实际上也包含着类似的问题。区间是集合论的语言，而区间是由什么构成的呢？传统的回答，或者说实变函数的回答是点。那么这里也存在一个跳跃，即无“测度”的点经过无限次的累加构成了有“测度”的区间，这些将在后续章节认真探讨。上述，我们给出了当前数形模型的一般论述，这也将是我们进一步思考的出发点。

参考文献：

陈广荣：《实数理论》