波粒二象性是量子力学里最令人费解的概念之一。在经典力学中不难理解波动性和粒子性的关系，例如水波就是大量粒子某种规则运动所表现出来的整体行为。这样的经典概念不可以照搬到量子力学上。仅仅停留在“微观粒子既有波动性又有粒子性”或者“波动性和粒子性互相补充”等笼统的说法，无法解开初学者的疑惑。从量子力学的三阶段论出发，波粒二象性就很容易被解释清楚了。

                         图1. 电子通过双缝时的干涉现象

量子力学教科书中经常利用电子束穿过双缝时的干涉现象作为例子，讨论微观粒子的波粒二象性。有些人习惯于经典力学的思想方式，他们希望不依靠波函数，而把微观粒子的行为归结为符合经典力学的直观描述。在讨论电子的双缝干涉现象的时候，就可以设想电子在到达双缝时，应当“选择”一个狭缝穿过。假定把屏幕分成A到E五个区（见图1），那么，

               到达屏幕每一区的电子数目=穿过左边缝隙到达屏幕该区的电子数目

                                                               +穿过右边缝隙到达屏幕该区的电子数目

这种描述与实验结果不一致，所以经典直观逻辑不能满意地解释电子的双缝干涉现象。

但是，量子力学的三阶段论可以有助于正确理解微观粒子的波粒二象性。

在第一阶段里，根据电子的状态确认初始波函数。当一个电子从电子枪射出后，它相应的波函数在到达双缝时被分为两部分。初始波函数就是在两条缝隙处射出的两束互相平行的波函数的叠加。

在第二阶段里，不讨论电子如何运动，而是讨论这两束波函数如何演化。在第二阶段刚刚开始的时候，由于双缝之间有一段距离，所以两束波函数在空间是互相分开的。随着波函数向屏幕方向移动，这两部分波函数将汇合，最终到达屏幕。所以，与经典直观逻辑不同，在量子力学中，应当把经典直观逻辑里的“电子数目”换成“波函数”，也就是：        

       到达屏幕每一区的波函数=从左边缝隙到达屏幕该区的波函数

                                                            + 从右边缝隙到达屏幕该区的波函数

这个公式适用于从A到E每一个区。在空间的每个位置，波函数不仅有振幅，也有相位。在双缝干涉实验里，到屏幕的不同位置，穿过双缝的两束波函数传播的路程之差不同。在路程差为波长的整数倍的地方，振幅加强，波函数的模二次方就会比较大；而在路程差为波长的半整数（即整数加1/2）倍的地方，振幅消减，波函数的模二次方就会比较小。用这种方法可以计算出到达屏幕每一区的波函数，整个波函数就是这五个部分波函数的叠加。想象我们发明一种照相机能够“拍摄”波函数，那么在屏幕上的波函数就会被“观察”到。但是，量子力学里的波函数不是可观察量。想要知道波函数在到达屏幕时成为什么样子，就需要依靠第三阶段的测量。

在第三阶段里，为了观察到电子出现在什么地方，就要使用一个可以测量电子位置的仪器，例如，用一个探测器先后在五个区里探测，或者在五个区里分别安装五个探测器同时探测，也可以用一张屏幕探测所有五个区。电子仅仅会在其中一个区域被发现，但不会在两个或两个以上的区域里同时被发现。按照玻恩法则，电子在每个区里被探测器探测到的几率，正比于在该处波函数的绝对值的二次方。

以上用三阶段论描述的只是单个电子的运动。如果在实验中先后发射了大量具有相同初始条件的电子，在量子力学三阶段论的第一阶段每一个电子就有相同初始波函数。在第二阶段里，每一个波函数都会经历完全相同的演化过程，在测量前的瞬间所有波函数就都是同样的，在第三阶段测量时，在A到E任何一个区里发现电子的几率都是由这个波函数所决定的。每当发射一个电子之后，测量仪器就会在某区发现这个电子，并且在该区的探测器留下一个记录，或者在屏幕上留下一个光斑。当电子的数目很多时，这些记录或光斑的分布就反映了波函数模二次方在五个区的分布。所以对大量电子的测量，得到的结果可以在统计意义上反映电子的波动行为。

综上所述，微观粒子的波粒二象性可以简要地描述如下：

在量子力学三阶段论的第二阶段里，波函数按照薛定谔方程的演化，具有波动性；在第三阶段的测量（例如测量位置）过程中，波函数发生“缩编”，单个粒子仅在某个具体的位置被发现，呈现粒子性。由于粒子在每个特定的位置被发现的几率正比于该位置波函数模的二次方，所以对大量粒子的测量可以在统计意义上观察到波动性。

关于波粒二象性，有些人所持观点与量子力学三阶段论不同。例如，“双缝干涉实验中的电子既是粒子又是波。当只有一条缝时，电子以粒子的形式出现；当存在两条缝时，电子就变成了波。”这种观点把波粒二象性看成是被初始条件所决定的现象。再如，“观察到粒子性还是波动性，取决于使用什么观察仪器。如果在双缝的后面放上屏幕，就看到干涉条纹，电子表现出波动性；如果把屏幕移开，用两个探测器分别对准两条缝，每个电子就进入两个探测器之一，电子就表现出粒子性。”这种观点则把波粒二象性看成是依赖测量手段的现象。诚然，随着第一阶段初始条件的改变或者第三阶段测量仪器的不同，电子的行为有时可以“更像一个粒子”，有时则可能“更像一束波”。但是无论在何种情况下，在第二阶段里都必须用波函数来描述，而波函数的演化都服从薛定谔方程，因此都具有波粒二象性。即使某些条件下量子力学的计算结果与经典物理几乎一致，这两种理论在本质上仍然是有区别的，不能把经典物理等同于量子力学。

应当强调，量子力学的波粒二象性中的“波”不是“经典波”，“粒子”也不是“经典粒子”。例如，在电子双缝干涉实验中，屏幕作为测量仪器，在这个特定的实验环境中，电子的粒子性仅仅指它在屏幕上某个确定的位置被发现，而不是说电子的运动存在轨迹。这里所观测到的波动性，是指波函数的演化决定了电子被测量的时候以某种几率分布弥散在空间并且在屏幕上显示叠加干涉的结果。波动性来自单电子内秉的波动性质，而不是多个电子之间相互作用的结果。

双缝干涉实验显示了典型的波粒二象性，但是不要认为只有看得到干涉条纹的现象才算得上波粒二象性。在量子势垒实验中[1]，第二阶段用波函数描述系统的演化，同样也具有波动性。如果可以给波函数“照个相”，就可以发现波函数分布在势垒两边，而不是仅仅存在于某一处。对于单个粒子的测量只能在势垒的某一侧发现粒子，这显示了粒子性；对大量粒子的测量就可以在统计意义上显示波函数模二次方的分布。如果把反射波和穿透波重新汇聚起来，仍然可以发生干涉现象。波粒二象性是在量子力学系统演化的普遍性质，但是在每个具体问题中有各自的表现形式。不能以“没有看到干涉条纹”为理由否定波粒二象性。

一些人不满足于量子力学对于双缝干涉实验的描述，试图探索在第二阶段里电子是如何运动的。常见的答案包括“电子同时穿过两条缝”，或者“电子不曾从任何一条缝穿过”，或者“电子分裂成两半分别穿过双缝”，或者“一个电子往返多次先后穿过不同的缝”等。这些答案不能帮助初学者理解量子力学，反而可能给他们造成更多困惑。在关于“电子如何运动”的辩论中，主张以上这类答案的一方通常把举证的责任推给对方，以“你怎么知道电子不能……”的反问结束争论。费曼曾经说过[2]：

当新的量子力学刚建立时，经典物理学家 — 这里指除去海森伯、薛定谔和玻恩以外所有的人 — 说：“看吧，你们的理论一点也不好，因为你们不能回答这样一些问题：粒子的精确位置是什么？它穿过的是哪一个孔？以及一些别的问题”。海森伯的答复是：“我不用回答这样的问题，因为你们不能从实验上提出这个问题。”这就是说，我们不必回答这种问题。

最后，把经典力学中的粒子性、波动性与量子力学的波粒二象性作一个比较:

就单个粒子而言，经典力学中，粒子仅仅显示粒子性，没有波动性。量子力学中，在三阶段论的第二阶段，波函数按照薛定谔方程演化，具有波动性；在第三阶段，测量结果显示粒子性，单个粒子只能在某个特定的位置被发现，而不会同时在多个位置被发现。

就大量粒子而言，在经典波动现象中，粒子性和波动性共存。当实验者关注其中的每一个粒子时，看到的是粒子性，每一个粒子都在各自的平衡位置附近往复运动，其平衡位置在空间是确定的；当实验者纵观大量粒子的集体运动时，看到的是波动性，它弥散在空间广泛的区域。在量子力学的电子双缝干涉实验的测量结果中，既可以观察到电子的粒子性，也可以观察到电子的波动性。当实验者关注其中的每一个电子时，看到的是粒子性，测量时它在屏幕上某个特定的位置出现；当实验者纵观大量电子时，显示出几率密度（即波函数模的二次方），看到的是波动性，它可以出现在屏幕空间广泛的范围里，呈现干涉条纹。

[1] 量子力学三阶段论-1-一维势垒。http://blog.sciencenet.cn/blog-3395754-1155053.html

[2] Feynman R  P, Leighton R, Sands M, The Feynman lectures on physics, Vol. 3, Boston: Addison −Wesley, Reading , 1965.