浅谈代数几何码（AG码）

许秋雨，2024.5.2

在Turbo码（1993年提出，1995年后流行）出现前，代数几何码（AG码）成了纠错码界的希望。当时我正好在南加大读博士，上了一系列的纠错码的研究生课，其中Welch的纠错码I，II（两个学期）是研究生必修课，然后是Kumar的AG码的两学期选修课，90年到92年间。Welch的课里讲到Reed-Solomon（RS）码的各种解码方法为止。当时Kumar把代数几何玩得如火纯青，不得不让很多学数学出身的人佩服。

RS码是现代数学在电子工程里应用的一个最好的范例，它产生在50年代底60年代初，它没有抽象代数就是不行。早前的纠错码是0和1二进制上的线性码，其选择性少。如把0和1的标量推广到0和1的矢量上去的话，那么在其上的线性码的选择性就多了很多。要这么做，就必需要有0和1的向量上的四则运算，即有限域。RS码正是在这个基楚上发展的。问题是怎么选线性码的生成矩阵。RS 码就选了以有限域上多项式的零点产生的范德蒙项列式的高阵做生成阵。恰到好处的是，这样的选择，很容易地可以算出它的最小距离。

RS码是第一个AG码,它是用了多项式的零点（Reed-Muller 码也是AG码）。后来在70年代俄国数学家Goppa说，为啥不用有限域上有理分式的极点呢。这样就有了Goppa 码，而Goppa码是可以打破Gilbert-Vashamov界的（GVB， 是码的大小和最小距离的一个界）。AG 码就是在这样的基楚上产生的（1982年，Goppa），它是利用有限域上代数曲线的零点和极点（两个都可用）来做有限域上线性码的生成矩阵。这其中，给定一条代数曲线，其零点和极点的个数至关重要。而这零点和极点个数的关系正是被Riemann-Roch 定理所定。

尽管AG码可以打破GVB，但是没有AG码的好的解码法。在80年代底，90年代初，中国留美学者冯贵良对RS码的解码做了一系列的工作，然后用到AG码的解码上，为此他的论文得了IEEE 信息论学会的最佳论文，这应该是中国人得的第一篇IEEE 信息论学会最佳论文（如有出入，请指正），当时非常为他骄傲。

1995年纠错码界大咖Forney在IEEE信息论年会里的大会报告还是关于AG码，那时对AG码还是 To be determined。时间真快，自从Turbo码和LDPC码变流行后，一下子让纠错码大众化。无需很多数学知识或者过去的纠错码基础知识就可以进入这些以迭代解码为主的纠错码领地，并且有很好的效果。所以人们不禁要问，现在还有几个人关心AG码？？？

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PS：今天读到下文的关于Riemann-Roch 定理，有感而发。我不是AG码方向的专家，如说得有啥不妥之处，请指正。

https://mp.weixin.qq.com/s/-PHF5jALGt2GKFxJ1yEx1A