据说全世界的大学生都对极限的定义感觉头疼。本文就试着帮大家梳理一下，希望会有效果。

　　这个定义让人觉得困难的原因在于，它本身有好几个连接词，又有很多种形式，另外这个定义的直接应用——证明函数的极限——也让人难以理解。下面我就针对这几方面作以介绍。

　　下面是这个定义的两种形式：

任给ε>0，总存在N，使得x>N时，|f(x)-A|<ε恒成立。这时我们就说当x趋于+∞时，f(x)的极限是A。（形式1）

任给ε>0，总存在δ，使得0<|x-x0|<δ时，|f(x)-A|<ε恒成立。这时我们就说x当趋于x0时，f(x)的极限是A。（形式2）

　　这两种形式说的是什么意思呢？以形式1为例，意思就是：当x足够大时，f(x)会足够靠近一个定值。首先，什么叫做“足够靠近”？就是要多近有多近：完全相等当然是一种“足够靠近”，有时作不到就退而求其次，放不下任何一个有限大小的值，也可以。其次，这里只需要考虑x很大时的情况，至于x不太大的时候怎么样，是不需要考虑的。而什么才是x很大呢？当然就是要让f(x)和极限0的差（的绝对值）永远小于ε。

　　接下来我们看如何用这个定义证明极限。本文我们要证明的是函数sin(x)/x，当x→+∞时，极限为0。证明方法当然是依赖定义，也就是说，对于任何一个ε>0，看能不能找到合适的N。我们把要研究的不等式以及这里涉及的函数图形列在下面（图像被纵向拉长了，这不影响我们的讨论）：

|sin(x)/x-0|<ε

　　我们从图像中可以看出，无论这个ε多么小，只要它还是正数，那么x=kπ（k=1,2,3....）总可以满足这个不等式。然而，这并不是我们关心的。因为我们不能保证x比kπ略大时，函数值（的绝对值）仍然小于ε【比如我们设ε为0.1，那么虽然x=2π时函数值为0，但x=2.5π时函数值大于ε】 。换句话说，我们的任务并不是去求前面所给不等式的全部解集，而是要找到这样一个区间：当x位于这个区间里时，f(x)与所要证明极限的差的绝对值恒小于ε，同时对于本例来说，这个区间的右侧必须是∞。这样一来，x=π、2π、3π等等附近的区间就不能用了。怎么办呢？

　　我们索性把要证明的函数放大一下，看看1/x。显然，当x>1/ε时（本文只讨论正数情况），

|1/x-0|<ε

成立，而又因为|sin(x)|<1，所以当x>1/ε时肯定会有

|sin(x)/x-0|<ε

成立。这对我们证明极限已经足够了，这个1/ε就可以当做定义里的N。假如ε是0.001，那么N就是1000，x就得大于1000，假如ε是0.0001，那么N就是10000，x就得大于10000……而其它比较小的值一概不论，没有意义。因为对于任何一个大于0的ε都可以找到对应的N，那么和前面的定义对照一下，就能看出来确实是满足定义了。

　　关于这个定义的其它形式，大家总可以按照以上思路自己捋清楚。

　　希望本文能帮助那些苦苦挣扎在定义里的学生。