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吉布斯现象产生的原因---兼论谁先发现吉布斯现象的?

已有 986 次阅读 2024-2-16 22:58 |个人分类:科研笔记|系统分类:科研笔记

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一、历史沿革

记得当初傅里叶向法国国家科学院提交包含有傅里叶变换内容的论文时(论文的名称是热的解析理论),文中提出了一个观点:任何连续周期信号可以由一组适当的正弦曲线组合而成。遭到了当时学术权威拉格朗日的反对,而没能通过审核。当时拉格朗日反对的理由是傅里叶变换不能拟合带有棱角的信号。Anyway, 不管怎样,权威就是权威,直到拉格朗日过世15年后,傅里叶才能自己把论文的内容整理成一本书刊印出版。拉格朗日的观点无疑是正确的,但也不能说傅里叶变换就是错误的,因为从理论上讲,当用无穷多组正弦曲线来非常逼近地带有棱角的信号时,确实可以无限接近,逼近到不存在能量差别。

1898年,美国人阿尔伯特·迈克尔逊(Albert Abraham Michelson)做了一个谐波分析仪。这个迈克尔逊就是那个发明了大名鼎鼎的迈克尔逊干涉仪,给十九世纪物理学带来第一朵乌云,并成为相对论理论导火索的迈克尔逊。当他测试方波时惊讶的发现方波image.png��(�)在不连续点附近部分呈现起伏(这里N是傅里叶级数的项数),这个起伏的峰值大小似乎不随N增大而下降!于是他写信给当时著名的数学物理学家吉布斯(Josiah Willard Gibbs),吉布斯检查了这一项结果,随即发表了他的看法:随着N增加,部分起伏就向不连续点压缩,但是对任何有限的N值,起伏的峰值大小保持不变。顺便提一下,吉布斯是第一个获得工程学博士学位的美国人,时间是1863年,学位由耶鲁大学颁发。不过实际上,所谓吉布斯现象应该叫威布拉汉姆(Wilbraham)现象。英国数学家Henry Wilbraham 实际上在1848年就发现了这一现象[1]。只不过一位叫做 Maxime Bôcher的美国数学家在1906年的论文中分析过冲(overshoot)问题的时候[2] 将这一现象命名为吉布斯现象,因此也就这样叫开了。

图1. 威布拉汉姆1848年的论文就已经分析了所谓的“吉布斯”现象

[1] Wilbraham, Henry (1848) "On a certain periodic function"The Cambridge and Dublin Mathematical Journal3 : 198–201.

[2] Bôcher, Maxime (April 1906) "Introduction to the theory of Fourier's series"Annals of Mathethematics, second series, 7 (3) : 81–152. The Gibbs phenomenon is discussed on pages 123–132; Gibbs's role is mentioned on page 129.

二、威布拉汉姆-吉布斯现象

威布拉汉姆-吉布斯现象是指在处理具有不连续点的周期信号时,通过傅立叶级数展开并选取有限项进行合成时出现的一种现象。这种现象表明,随着选定的傅里叶级数项数(即)的增加,合成的波形会越来越接近原始信号,但是在不连续点附近会出现一个固定的高度过冲。这个过冲的最大值大约在原信号不连续点处的跳变值的9%左右,并且这种过冲不仅出现在不连续点本身,还在其两侧呈现出衰减振荡的形式。

动图封面

图2. 一个方波(周期为1,峰对峰振幅为2,从-1到1)的加性合成的动画,其谐波数不断增加。当谐波数较大时,围绕跳变不连续振荡的威布拉汉姆-吉布斯现象就会越来越明显。[3]

[3] en.wikipedia.org/wiki/G

三、威布拉汉姆-吉布斯现象产生的原因



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