积分学的新征程

范洪义

微积分无疑是现代数学取得的最高成就，也是现代科学的支柱。历史上，牛顿从研究物理问题出发创立了微积分，牛顿称之为“流数术理论”。莱布尼兹从几何角度出发独立创立了微积分，莱布尼兹把微积分称之为“无穷小算法”。欧拉是求积分的专家。十九世纪下半叶法国数学家柯西创立极限理论的使得微积分从此建立在一个严密的分析基础之上，然后康托尔、沃尔泰拉、贝尔和勒贝格把严密性同集合论与实数论相结合，为创建微积分的过程画了一个完美的句号。数学家们为此长长地舒了一口气。

微积分的概念和方法不断扩展并被广泛应用来解决经典物理学中的各种实际问题，取得了巨大的成就。但到了20世纪初，量子力学的曙光折射出了新的数学符号---狄拉克的符号ket-bra，关于它是否存在积分的问题纯数学家们茫然不知，因此也没有将它作为发展积分学的新机会。而物理学家们主要关心薛定谔的波函数（经典函数）的物理解释，也没有心系算符的积分上。

中国物理学工作者在中国的土地上首先发现了对狄拉克ket-bra算符的积分是积分学的新征程，并创造了有序算符内的积分技术，征程上尽管有荆棘，却也风光无限，例如发现抽象的坐标态矢量|x>表象的完备性可以转写为 :

“对被积算符|x><x|从负无穷到正无穷的积分=对正态分布：exp[-(x-X)^2]:的相应积分”，这里X是坐标算符，：：表示正规乘积. 从此减轻了对狄拉克符号认识的抽象度。

一个数学理论是否站得住脚，数学家的一个判定是它是否具有数学美，而物理学家是判定是它是否有物理意义，是否能给出新物理。从上式来看，量子力学的几率假定可以和数理统计的正态分布相联系，这就掀起了量子世界幕布的一角。

有序算符内的积分技术的初始对象是算符，得出了算符的计算结果后，它又可以给出相应的经典函数的结果，循此途径可以导出广义的二项式、负二项式定理、新的特殊函数等，诸位有兴趣者不妨一读《量子力学算符厄密多项式论》，作者是范洪义和楼森岳。

量子力学算符积分学由于没有纯数学家的参与，学物理的容易懂得与接受。要知道爱因斯坦曾经诙谐地说，自从数学家加入研究相对论的研究后，我就不懂相对论了。