“许多人在原则上都接受量子力学非定域性，

可是遇到具体实际问题时却又落入经典定域性的陷阱”

——王正行《严谨与简洁之美--王竹溪一生的物理追求》p.170

 

一，引子

王正行先生《严谨与简洁之美》是给王竹溪先生写的一本传记。如果我要给一个评价的话，只有Pais给爱因斯坦作的传记可以媲美，只是篇幅小很多。我2010年3月偶然获知此书，至今已经读了3遍。建议所有中国文化科技界、特别中国物理学界的人士，都去读一读。

1998年前后，中国高等科技中心（CCAST）举办的一次较大型的国际研讨会，主题是关于“量子光学与量子力学中的非局域性，因果性和实在性”。请教苏肇冰先生，苏先生说，国际上六、七十年代关于这“三性”研究得很多，深入人心并产生了深远的影响，后来国际上就产生了“which way”和“延迟选择”等重要进展。当时我国物理学界和国际物理学没有交流，失去了共同成长的机会。

 

二，最简单的量子力学体系——一维无限深势阱

不熟悉这个问题的读者，可以先参看附录。

我在多篇博文里反复提到，周世勋先生的《量子力学教程》是中国物理学教材中的经典，我非常感激这本教材，是它把我带进了量子力学的大门。该书概念性错误极少，但有两个小错误必须订正。其一就是p.37中，有如下一句话，无限深势阱中的定态波函数“是由两个沿相反方向传播的平面波叠加而成的驻波”。这句话错误的根源在于忽略了量子力学波函数具有非定域性。很高兴看到国内越来越多的教材（例如曾谨言先生（第三版），张永德先生等），都不采用周世勋先生的讲法。

一维空间中的无限深势阱体系，无疑是最简单的量子力学体系。任何理工科大学生都会首先学到它。如果给学生出考题，求这一维无限深势阱中粒子的定态波函数和能级，而学生考不出来，很少碰到！不过，只有聪明的学生能准确回答如下3个中等难度问题。

三个中等难度问题：

1.       写出体系的位置算符， 动量算符和哈密顿算符的定义域。

2.        体系的动量算符和哈密顿算符不对易的根源何在？

3.        在经典物理和量子物理中，如何定义这个问题的空间？

当然，不是每一位量子力学博士教授都能回答如下三个问题(可能有点咬文嚼字)

4.        在某一状态上的动量分布可以取任意大的数值，是否意味作粒子的速度会超光速?

5.        定态波函数是局域的(localized)吗?

6.        定态波函数是非局域的(nonlocal)吗?

 

三，问题的答案和量子力学非定域性

这六个问题的正确答案如下：

1，位置算符， 动量算符和哈密顿算符的定义域都是 。

2，动量算符定义在全空间,而(全空间的)哈密顿算符包含有势能，这是这一势能导致了动量算符哈密顿算符不对易。或者说，边界条件本身意味着势分布的不均匀。

3，数学上似乎可以有一种处理：处理为一个[0,a]空间中的问题，此时波函数只定义在这个空间，没有外部。但是，在量子物理中，绝对不可以只把空间定义在[0,a]上，而必须定义为全空间  。事实上，看势场的形式，量子物理也确实是这样定义的。

在经典物理中，这两种定义没有差别。

4，本质上，量子力学中速度不是一个很容易定义的物理量。这个问题和哈密顿力学的独立变量的定义相关。

       不过，马马虎虎地说，可以通过动量定义速度算符。当然，此时也可以说，速度不过是动量的另外一个说法。不过，也就是在这个马马虎虎的说法里，动量任意大，可以认为意味着速度可以任意大。即使如此，也并不意味着粒子的速度会超光速！这是因为，粒子的速度，是各种可能性的平均值，尽管有超光速的成分，但是出现的概率总是太小。

5，波是局域的localized! 或者说，物理的波局域(localized)在势阱内部。

6，波是非局域的(nonlocal)，为什么?

 

非定域性最初步的定义是通过狭义相对论定义的，说是类空间隔中发生的事件无因果联系。或者说，同时发生的两个事件，不可能存在因果联系。

量子力学中的非定域性不能等同于相对论中的非定域性，而是对它的一个扩展，更加深刻。量子力学非定域性的定义是：类空间隔两点事件的波函数是相互（概率）关联的。一个简单的例子是，在美国取一个自旋往南的电子，在中国取一个自旋往北的电子，在我手上合到一起，象摇骰子一样摇几下让两个电子相互熟识一下，然后分开。一个去了美国，一个留在中国了。量子力学的标准说法是，无论去了美国的电子还是留在中国的电子，都只有二分之一的可能性是原属于美国或中国的电子，而且二分之一的可能性自旋朝南或朝北。戏剧性的事件是：如果在某时刻中国有人看它一眼发现它朝南，同时，尽管美国的电子没有任何人看，却一定朝北，概率从1/2一下子变到了概率为1。这就是量子力学非定域性。注意，由于中国这边的电子自旋朝向原本就没有明确的信息，不存在把一个具体的信息瞬时传达到美国的可能性。因此，量子力学中的非定域性，并不违背信息传播速度有限的物理原则。

    对于一维无限深势阱，非定域性的表现在：尽管粒子不可能进入[0,a]之外的区域，但这些区域是存在的，就会对体系的波函数产生影响。这个影响在两方面，1，影响到了粒子的能量本征函数。在[0,a]之外 ，和数学上只定义[0,a]空间是完全不同的！2，动量本征函数就定义在全空间上，尽管粒子无法进入[0,a]之外的部分，它直接导致了本征态上粒子的动量分布是一个连续的分布。这两方面和经典力学完全不同。

 

四，深入一点点

我经常给学生打一个比方，什么叫量子力学非定域性？当你架好了枪的时候，尽管子弹还没有出膛，但全空间中出现子弹的概率就定下了。

现在把势阱宽度a突然扩大一倍到2a，物理的态是来不及立即变化的。靠近0点附近的波函数，能否立即“感觉”势阱变宽了? 如果能，是否说量子力学有超光速传播？

标准答案如下：量子力学也不认可超光速传播！但是，原来势阱中的态的演化空间——新的希尔伯特空间——却被独一无二被决定下来了。也就是说，靠近0点附近的波函数，的确“感觉”到势阱变宽了；它在新的势阱中的命运，在势阱宽度a突然扩大一倍2a时，在就被“同时”决定了。这就是量子力学非定域性。

不是说同时发生的两个事件，不可能存在因果联系吗?

如果把势阱宽度a缓慢扩大一倍2a，问题又将如何呢?

 

五，您说对不对？

在中文中，“非局域”对应英文的两个截然不同的两个单词non-local和non-localized. 这两个单词的含义截然不同。在中文中，“定域”和“局域”倒是通用的。

在理论物理的所谓四大力学中，以难易程度排队(从易到难)：技术层面的量子力学，电动力学，分析力学，统计力学和概念层面的量子力学。

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“参考文献”：

1，李亚辉 ，不要只记住薛定谔，忘了海森堡，忘了矩阵力学 ，http://blog.sciencenet.cn/home.php?mod=space&uid=1630&do=blog&id=442021

2，曹天德，没有数学就没有物理--兼批刘教授的错误论断之一（修正版），http://blog.sciencenet.cn/home.php?mod=space&uid=64261&do=blog&id=444324

3，李 铭 ，世界是定域的，但量子力学的描述是非定域的，http://blog.sciencenet.cn/home.php?mod=space&uid=222979&do=blog&id=444367

4，黄秀清，惊梦！新型量子武器“波塌弹”，http://blog.sciencenet.cn/home.php?mod=space&uid=480705&do=blog&id=445021

5，李亚辉 ，神仙会：老黄轰量子案，http://blog.sciencenet.cn/home.php?mod=space&uid=1630&do=blog&id=443135

6，王 号 ,当你架好了枪，科学和迷信都来捧场, http://blog.sciencenet.cn/home.php?mod=space&uid=45556&do=blog&id=445042

7, 黄秀清 ,挑战刘全慧老师英雄帖 ,http://blog.sciencenet.cn/home.php?mod=space&uid=480705&do=blog&id=442144

8，吕 喆 ,量子力学真相 , http://blog.sciencenet.cn/home.php?mod=space&uid=111635&do=blog&id=445165

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附录：一维无限深势阱中粒子之量子力学处理的全部内容。取自一本大学物理学教材。

 

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