上回博客谈到本学期我客串开设高等量子力学，本博客再写一点和这次教学有点关系的内容。

一，研究生教学最好用专著而不是专编

尽管多年不讲授高等量子力学这门课，我对其内容还是了解的。即使如此，为这次短短32个课时的研究生课程，我还是写了相当完善的讲义，几乎接近成书的程度。不过写书对于我实在是畏途。2008年底曾和科学出版社签约，约定2009年4月交一热物理方面的书稿——《热物理教与学随笔集》，一直等到2010年元月才完成。这是另外一个有趣的故事，以后有机会再说。

在我写高等量子力学讲义时，主要参考教材有两本，其中之一就是喀兴林先生的这本《高等量子力学》。这是喀先生的代表作，他前后20余年三易其稿，成书过程及其著作特色序言之述备焉。我觉得这本书完全不同于其他高等量子力学教材的地方就是，这不是一本编撰的教材，而是一本专著。书中几乎每句话他都反复斟酌过，独到见解几乎每页中都有。在全部152个小节中，约30个完全为该书所独有。既然喀先生认为至少有30来个问题值得单独成节，至少当时他认为是值得深入研究的问题并有了一些明确的结果。这次上课，我和我的学生们就在这其中的一节中挖到一块“金子”。其中的故事值得一说。

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插播故事若干

江湖上有很多关于喀兴林先生的传说，这里聊举三例。一，中青年时喀先生善饮，非一公斤烈酒不能达微醺境界。二，上世纪六十年代前，张宗燧先生在科大讲授《量子力学》，发现一些悟性不高的学生居然也能听懂他的课。一打听原来助教喀兴林功夫不凡。三，加国华人赵平波在华人网络世界中应该算一个人物吧。他有一能耐几乎无人能及：在他臧否天下人物的清单中居然有他的业师——博士论文导师。他在湖南大学工作过，后投到北京师范大学胡岗教授门下攻读硕士学位。有一次我和胡老师聊天谈到他。胡老师评价他说，平波对物理的理解常常是敏捷和到位的，甚至比一些硕士期间有文章的学生强。平波有一次和我闲聊，聊到喀先生时他有一段话大意如下，尽管喀先生不作所谓的前沿研究，但是很多做前沿的人遇到问题还要去请教他，而喀先生往往能给出一些有益的建议。

记得上世纪七十年代末八十年代初，教育资源严重缺乏，如饥似渴的青少年蝗虫一般挤在自学这条小路上。我在湘潭电机制造学校学习电器自动化时，也玩自学，先数学后物理。毕业后分配到郑州一家工厂做电工(美名曰电气技术员)后，还坚持学物理。有一次出差机会到北京，就当时我学习量子力学散射理论中一个问题请教过喀先生。记得当时他听完我的问题，只说了几个字我就明白了。他说，这是由于碰撞是完全弹性的结果。

1986年我到郑州大学念研究生，跟随赵祖森先生学习粒子物理。当时的高等量子力学课程的教材，就是现在喀先生《高等量子力学》的前身——油印讲义。2000年，我被邀请加入《大学物理》作为编委，在编委会议上多次见到先生，一直在喀先生的领导下，不过我无所作为。记得有一次会议期间，承蒙东道主好意，安排在甘肃青海一线参观，有些历史久远的景点在一些破败不堪的庙宇中，个别甚至还要扶梯在黑暗中爬上爬下。洞壁湿滑，梯子颤抖。先生虽深度近视，依然每景必到，每看必细，精神堪比少年。

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二，要抓住专著中一些活跃思想的苗头

我采用喀先生《高等量子力学》的章节集中在空间转动和角动量，相对论性量子力学这两部分。如果研究角动量，必须和很多对易关系、李群等打交道。

湖南大学一位同事也是前辈说过，在这里培养物理专业的研究生，就是要从一碗水中提炼出二两猪油来。这句话的意思是，抱怨学生水平差是无济于事的，要能够从本科一二年级起点甚至高中起点的学生中培养出合格的研究生。我在2009年上半年准备高等量子力学的过程中，就对我一位研究生说，基础差点不要紧，你看我如何指导你仅仅靠认真读书就写出一篇文章来。我要他先读喀先生《高等量子力学》第二章第8节的前3个小节，熟悉角动量的一些基本对易式的计算。我特别告诉他，§8-3标题是“量子数l的升降算符”，这里面有“鱼”，你要认真“摸一摸”。

由于他“摸”起来太慢，我叫另一位研究生帮他。我开始并不太关心量子数l的升降问题，主要是觉得这条“鱼”不够大。如果在量子力学玩多了，往往会有一些感觉。你会觉得描述谐振子的简谐函数和球面上的球谐函数尽管数学形式上“长相”迥异，物理性质很像。不过，谐振子的很多性质例如相干态可以用Heisenberg代数来描述，但是构造球面上的相干态却极其困难。如果球面上的相干态搞清楚了，说不定构造自旋相干态就顺理成章。而自旋电子学正热门，能找个实验结果比照一下，就是一件漂亮的理论物理研究工作。于是我的想法是，指望学生首先弄清楚喀先生构造的量子数l的升降算符中的代数结构。在发展了喀先生的想法后，我们辨认出其中的代数结构：gl(2,c)李代数。

没有想到接下来玩起来就费劲了。困难在于，自旋的相干态需要平移算符，这样Pauli矩阵都在指数上，计算复杂，短时间出不来结果。于是我们只要折转回来研究量子数l的升降算符。这个问题，也要将喀先生的结果往前发展，不过这个发展很小。最关键的一步是要要将一个c数代之以一个算符：

引入这个算符后，没有严格的数学可以沿用，必须靠物理图像指引进行数学演绎。然后经过一番论证，得到一个不错的结果。

三，从课堂到Wolfram Research

得到非平庸的结果后，接下来就是写文章了。

写文章也是请学生先动手写一写，即使将其修改得一字不留也必须这样做。教学生，有的时候就是需要手把手，一个环节都不能偷懒。第一篇文章于2009年12月28日上传给arXiv:0912.5146v1, 同时投给international journal of theoretical physics，然后写信告诉喀先生。喀先生的回复见后。第二篇文章于2010年1月28日上传给arXiv:1001.5163v1，同时投给Modern Physics Letters A。这两篇文章都在审理之中。

一切回归平静，学生都回家过年去了。天下文章一大堆，谁看呐? 该干什么干什么去，电影《阿凡达》正火呢。

2月1日，搞出mathematica和Wolfram Alpha 的Wolfram Research突然来函，说他们有个人看到了我们的文章arXiv:0912.5146v1，邀请我们加入Wolfram Demonstrations Project. 从来没有听说过这个project，不过，Wolfram公司的大名还是知道的，何况有人读过我们的文章，这是件令人高兴的事。

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From   Wolfram Research <marty_mckee@wolfram.com>

To     quanhuiliu

Date   Mon, Feb 1, 2010 at 11:30 PM

Subject Your publication in Arxiv

Mailed-by wolfram.com

Dear Quan Hui Liu,

Your article, "Raising and lowering operators for angular momentum quantum numbers l in spherical harmonics", caught the attention of one of mycolleagues, who thought that it could be developed into an interesting Demonstration to add to the Wolfram Demonstrations Project. http://demonstrations.wolfram.com/e/2/

......

Your published Demonstrations will appear on the Wolfram Demonstrations Project website, which averages over 50,000 hits a week.

We welcome any questions you might have, and look forward to seeing a Demonstration submission from you soon.

Best regards,

Marty McKee

Wolfram Research, Inc.

http://www.wolfram.com

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中国的课堂教学，能产生出了引起美国Wolfram公司注意的结果，不管后续如何，总是一件好事。