一，拜读大师的著作必有所获

一般来说，教课书上的问题，就是入门级别的问题。如果是大师编著的教科书，往往有一些问题会引起数年甚至数十年的研究,很可能不是那么简单。我们关注一个量子物理问题，就写在大师Steven Weinberg先生的教课书上，可以算得是量子物理入门级别的一个课题，但的确也是一个前沿课题。

3月29日，物理学巨人P. W. Anderson去世。如此量级的物理学家，仅剩杨振宁和Steven Weinberg两位先生。尽管Weinberg先生即将87岁(5月3日)，但是思想非常敏锐，从事原创性研究的热情不减当年。先生最新的论文参见今年一月份独立作者的论文：Models of lepton and quark masses，Phys. Rev. D 101, 035020 (Published 19 February 2020)。超过八旬还在独立发表长篇高水平研究论文的学者，中华大地上也有！向他们学习！

我们课题组从事约束体系量子力学研究已经十六年， Weinberg先生对此也颇有兴趣，当是他并不专注与此。在这个问题上，我们的研究比Weinberg先生要深入一点，因此也就有一点点交流。

二，超球面上的量子力学

Weinberg先生2015底再版的《量子力学讲义》(第二版，Cambridge University Press)中的研究了超球面上无自旋粒子的量子力学。

超球面就是一个嵌入到高一维平直空间中的球面，形状方程就是$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+...+x_{N}^{2}={{R}^{2}}$，其中N是平直空间的维数，N=3时就是普通的球面。

对于这一超球面上的粒子，经典的狄拉克括号是

${{\left[ {{p}_{i,}}{{p}_{j}} \right]}_{D}}=-\left( {{x}_{i}}{{p}_{j}}-{{p}_{i}}{{x}_{j}} \right)\frac{1}{{{R}^{2}}}$                          （1）

这里量$\left( {{x}_{i}}{{p}_{j}}-{{p}_{i}}{{x}_{j}} \right)$仅仅包含对角度的导数，和径向位置算符R对易。在经典力学中，量$\left( {{x}_{i}}{{p}_{j}}-{{p}_{i}}{{x}_{j}} \right)$有两种完全等价的做法。第一是保留原有形式$\left( {{x}_{i}}{{p}_{j}}-{{p}_{i}}{{x}_{j}} \right)$然后讨论曲面上的运动。第二是通过角动量的定义式${{L}_{ij}}={{x}_{i}}{{p}_{j}}-{{p}_{i}}{{x}_{j}}$改写(1)式为

${{\left[ {{p}_{i,}}{{p}_{j}} \right]}_{D}}=-{{L}_{ij}}\frac{1}{{{R}^{2}}}$               （2）

和(1)式在经典力学中完全等同。

下面来研究这个系统的量子力学。在量子力学中，流行的做法是量子化(1)，不仅Weinberg，德国理论物理学名家H. Kleinert，等等，给出的量子化条件是

$\left[ {{p}_{i,}}{{p}_{j}} \right]=-i\hbar \left( {{x}_{i}}{{p}_{j}}-{{p}_{i}}{{x}_{j}} \right)\frac{1}{{{R}^{2}}}$                  （3）

第二种做法是量子化(2)。注意：量子化后，角动量的定义更新换代，服从的是SO(N)代数，这个时候，角动量自动包括自旋，

${{L}_{ij}}\to {{J}_{ij}}$                           （4）

相应于(2)的基本量子条件为

$\left[ {{p}_{i,}}{{p}_{j}} \right]=-i\hbar {{J}_{ij}}\frac{1}{{{R}^{2}}}$                          （5)

和(2)式有根本的不同。在量子力学中，轨道角动量L的量子数取整数，但是一般的角动量J的量子数可以取半整数! 2013年，项目组首先指出，可以证明动量和角动量一起构成SO(N,1)代数，因此动量和角动量的取值由代数关系确定。只是和平直空间J=L+S完全不同，这里的J包含了弯曲的贡献。因此，从(5)中得到的(几何)动量将包含自旋的贡献。正是由于超球面上的粒子的动量必须包含自旋的贡献，容易理解一般超曲面上的粒子的几何动量也一定带有自旋的贡献。我们获得的一般性动量的形式是：

$\mathbf{p}=-i\hbar \left( \nabla _{S}^{{}}+\frac{M\mathbf{n}}{2} \right)\text{+}\hbar {{\mathbf{r}}^{\mu }}{{\Omega }_{\mu }}$                    （6）

三，结论

Weinberg是对称性大师，当今世上无出其右。量子力学中的角动量，不是由轨道部分的算符关系决定，而是由对称性决定，这一点，他不可能不知道。但是，在一个新的地方出现角动量的时候，就忘记了这里也必须由对称性所决定。否则，这个粒子就不带自旋。这一点上，就比另外一位物理学诺贝尔奖获得者Abrikosov稍逊一筹。

如果一位平凡的老师，坚持钻研一个具体问题十年甚至数十年，很可能超过这个领域的大师。

参考文献

1，H. Kleinert and S. V. Shabanov, Proper Dirac Quantization of Free Particle on D-Dimensional Sphere, Phys. Lett. A, 232(1997)327-332

2，Q. H. Liu, Z. Li, X. Y. Zhou, Z. Q. Yang and W. K. Du, Generally covariant geometric momentum, gauge potential and a Dirac fermion on a two-dimensional sphere, Euro. Phys. J. C., 79 (2019) 712

3，Alexei A. Abrikosov Jr，Fermion States on the Sphere S^2， hep-th > arXiv:hep-th/0111084 (2001)

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下面的这张照片很少见，今天用来平息了圈里一场到底是“水击”还是“击水”之间的争论