一，杨振宁先生念叨最多的是什么? 规范场以及规范场的几何性

杨振宁在很多场合强调过两件事，第一，相位是20世纪物理学的三大主旋律之一；第二，相位的根源在于几何而非动力学。参见，Chen-Ning Yang，Einstein's impact on theoretical physics，Physics Today 33, 6,42 (1980)。文中有图如下：

但是，教科书在讲解相位时，常常求助于求解薛定谔方程，或者路径积分方法。这两个方法，本质都是动力学方法。久经沙场的老司机也不免阴沟里翻船：认为量子力学中的相位的根源在动力学。正确答案其实只有一个：根在几何！

量子力学中第一个非平庸的相位，是所谓的Aharonov-Bohm (AB)相位。参考下图中双缝实验，尽管电子不会受到螺旋管中磁场的力的作用，但是干涉条纹还是会受到影响！螺旋管中有无磁场，干涉条纹会发生移动。

(取自网络)

其实，利用几何学中的平行移动方法，可以立即发现，AB相位是一种几何效应！

二，几何中的平行移动

几何学中的一个矢量的平行移动如下图所示，

(基于网络原图改编)

在量子力学中，涉及的不是矢量的平行移动，而是状态的移动。这个状态的移动，很像一个函数的泰勒展开，

参见下图。

三，AB效应中的平行移动

四，Berry相位的几何性

量子力学的著名的相位，非Berry相位莫属。这个相位也是几何相位！

原因就在于，它也是绕一个回路平移回复到原点后，状态和原始状态相差一个相位因子。这个回路，和产生AB相位的回路不同，发生在参数空间！例如说，实验时地球转了一周，有火车路过，磁场发生了变化后回到了原点，等等。