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1. 何为分析学?顾名思义,就是把需要研究的数学对象(函数、积分等)分解成一些小块,得到一些局部化的东西,分别估计之,再以某种方式拼成一个整体的结果,从而实现对整个
研究对象的定量估计。
2. 调和分析关心函数的定量性质,以及这种定量性质在各种算子作用下的变化,所以调和分析中的定理常以“xx算子在xx函数空间上的有界性”的形式出现。
3. 覆盖定理是证明各种弱型估计的常用手法。
4. Hardy-Littlewood极大算子的性质是简单明了的,所以我们常希望将待研究的算子能被H-L极大算子控制住,从而将问题转化。
5. 调和分析应用于PDE的研究有着本质障碍。一方面,调和分析理论已研究清楚的算子大多是线性的,或者是“可线性化的算子”;另一方面,人们用来处理振荡积分的手段还很有限。
6. 从技术上讲,稳定位相原理(stationary phase method)本质上就是分部积分。
7. 在调和分析中,我们希望充分挖掘底空间的对称性,Fourier变换就是一个很好的例子。这一思想在经典奇异积分理论中体现得淋漓尽致,个人认为这方面最精彩的介绍当属E.Stein于1970年的著作《奇异积分与函数的可微性》。
8. Fourier分析这门学科的一个显著特色是从频率空间(也称Fourier空间)看问题。
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GMT+8, 2024-9-1 14:35
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