四月春风群芳闹，花影花语花蝶逍。

牡丹金屋两相全，海棠映月辉崇耀。

宫音靡靡静思扰，争芳斗艳本心摇。

采菊东篱淡名利，净莲出泥志清高。

——开头诗

有钱能使鬼推磨——所谓话糙理不糙，大概就是指这样的“俗话”了。古之文人雅士向来不俗，例如李白的“五花马，千金裘，呼儿将出换美酒”，杜甫的“丹青不知老将至，富贵于我如浮云”等。诗仙诗圣同时发出号召，威力自然倍增，因而“视金钱为粪土”的高风亮节代代相传，延续至今。

然而笔者从小就和高风亮节有些话不投机。记得小学时候某天在院子门口丢失一块钱硬币一枚，找了一个小时未果，只得哭哭啼啼地回家去了，回家后还伤心了很久。当时的一块钱意味着可以在小区附近的黑网吧里待一个小时，或者玩玩《星际争霸》（笔者的星际争霸水平正是在此地得到升华），或者看旁边长发披肩的漂亮大姐姐使用一款名为“OICQ”（qq前身）的聊天工具，对于一个毛头小子而言算是一笔小财了。

随着经济的发展，如今一块钱只怕连一个馒头都买不到了，所以如何理财自然就成为了人们日益关注的话题。金融学的一大任务便是帮助人们理财，也就是如何通过财富创造出更多的财富。如果理财方法得当，我们大可以凭借一枚硬币，在网吧里边啃馒头边玩星际争霸，玩累了再顺道请邻座大姐姐出去喝咖啡。

但若理财方法有误，那可能就不是丢失一枚硬币那么简单了，许多股民在跌宕起伏的上证股指中血本无归。国内金融市场容易受到大款操控，信息又不对称，散户很容易被套牢，这个时候冷静思考理性分析就显得格外重要了。

如今金融界专家众多，到底该听谁的呢？在弄明白这个问题之前，我们需要弄清楚金融到底是什么。这里采用维基百科中的说法——金融学是指研究投资的学科，和经济学的研究重心稍有区别，望读者们留意。基于这一点，笔者按照理论背景把这些专家分为三类，分别是社会学专家、数学家和数据分析师。一千个读者眼里有一千个哈姆雷特，那么这三种专家眼里的哈姆雷特都长什么样呢？

社会学专家的观点

这里的“社会学专家”其实比较宽泛，大家所熟悉的金融评论人和闻名全球的投资专家都属于这一范畴。其中一些著名的人物如下：

投资专家：

财经评论家及学者（不包括经济学家）：

这些专家的共同特点是，都善于结合社会科学和心理学中的研究手段来宏观性地看待问题，并辅以简单的数据分析，这样做出的分析理性和感性并存，深入浅出，很容易让大家所接受。

但这种分析方法的不足之处在于，得出的结论往往较为模糊，有时具有争议性。上面这些投资专家们得出来的结论往往并不复杂，然而就算把他们每一句名言都像“床前明月光”一样背得滚瓜烂熟了，那大盘也可能比“地上霜”还让人捉摸不透，刚有“举头望明月”般的牛势，随即便一路狂跌直到你“低头思故乡”。其中的原因很简单：

1. 这些国际投资家都有雄厚资本，举手投足间语气自然与常人不同；

2. 国内股市很复杂，这些理论水土不服，不适用；

3. 每一句简单的名言里面都隐藏着大量信息。例如巴菲特“只买有价值的股票”言论：判断一支股票价值到底如何，需要大量的分析和研究。

笔者在本科时期阅读了许多时寒冰、郎咸平等人的作品，自此对经济和金融学产生了兴趣，因此笔者认为这些书对于了解基本术语是有帮助的。不过需要辩证地看待这些作品，毕竟这些分析师得到的结论，尽管大都客观而全面，却依然存在少许争议。其原因在于不同分析师多多少少会有自己的立场，有时一些言论会缺乏强有力的严格考证，所以不同分析师的侧重点都略有不同。这就对读者们的判别能力有了很高的要求。

当各路神仙各执一词时，该听谁的话好呢？我们不妨再来看看数学家们的意见。

数学家的观点

金融是研究投资的科学，那自然就和数字有着千丝万缕的关系。有路必有丰田车，有数则必有数学家，那么在数学家眼中，这个充满了铜臭的世界是如何编织而成的呢？事实上金融数学的核心，源自于金融世界的随机性，而概率论正是研究随机性的学科，因此概率论是金融数学的主要研究工具。严加安院士在2012年发表的著作《金融数学引论》[3]对金融数学的各个分支、基本思想和方法做出了很全面的总结，可谓是金融数学领域的百科全书了，该书的基石就是概率论，不过同时对读者的实分析（测度论）基础有一定要求。对于数学基础稍微欠缺的读者，文献[4]则是一本很适合的入门书籍，该文献从金融学中的基本概念出发引入数学模型，但更注重实际情况，并不包含太多高深的数学知识。

笔者本科毕业论文的内容主要涉及到非寿险精算的数学理论，但后来渐渐发现，尽管保险精算也是金融学的一个分支，两者使用的主要数学工具还是有所差别的。保险精算主要处理保单问题，多使用离散模型，运用的方法则是以回归分析等统计学手段居多[5]（和计量经济学关系更大）；金融数学涉及的面更广，因此连续和离散模型并存，其中连续模型以随机微分方程、连续鞅方法（Martingale，一种特殊的随机过程，具有很多优美的数学性质）和更一般的Levy过程（本质上就是连续的布朗运动+不连续的跳跃）为主，离散模型则主要是离散鞅方法和时间序列模型，这些内容在文献[3]中都有系统的介绍。

随机游动（离散鞅方法）的随机模拟，是不是和K线图很像？

或许这些概念在多数读者眼里都很陌生，不过不用担心，我们先来看看金融数学领域中最出名的例子——Black-Scholes公式。这是一个随机微分方程模型，它一经提出便引发了随机微分方程在金融学领域的研究热潮，Scholes也曾因该模型获得过1997年诺贝尔经济学奖[6]。

Black-Sholes公式的目的是为了解决期权定价（Option Pricing）的问题，但事实上这一模型也适用于研究其他金融产品（股票、期货、债券、外汇等）的定价问题。举一个例子：假设李雷同学的总资产为S(t)，都是和时间t有关的函数。李雷对投资金融产品并不感兴趣，但对投资班花韩梅同学兴趣强烈，于是他把自己的资产分为两部分。他把其中一部分S1(t)存入银行，坐收汇率，因此这一部分又被称为无风险资产；把剩下的部分S2(t)拿来追求韩梅梅，可想而知，这一部分又被称为风险资产。数学家们把李雷的资产的变化规律描述为：

对李雷而言，追求韩梅梅所获得的回报主要是精神和感情层面的，我们把这类回报也纳入总资产里面。上面关于S2(t)的方程是最简单的随机微分方程，日本数学家伊藤清（Kiyoshi Itō）给出了它的解：

因为涉及到布朗运动的指数，以上随机过程又被称作几何布朗运动（Geometric Brownian Mothon，在数学上“指数”和“几何”有很紧密的联系）其推导过程可以参考文献[3]。此外，文献[7]也是随机微分方程领域的经典著作，很适合作为教材使用。从这个解我们可以看出，当(𝜇-σ/2)大于零时，回报高于付出，班花到手有望；若小于零，李雷就得重新规划战略，甚至“另寻芳草”了。

李雷既爱江山又爱美人，所以他想确定S1(t)和S2(t)各占多少比例，才能使总资产（总回报）达到最高，这样的投资分配比例叫做投资组合（Portfolio）。李雷从好基友处获得情报：在时间T以后，韩梅梅的男神吴彦煮会转到他们学校，所以李雷知道在时刻T，自己的策略必须发生调整。若已知在时刻T总资产（总回报）S(T)和风险资产S1(T)之间的关系（例如S(T)=max(S1(T)-K, 0)，可理解为一旦风险资产达到K就去像韩梅梅表白，否则按兵不动），那么Black-Scholes公式则告诉我们时间[0,T]内，总资产（总回报）和风险资产之间的关系[3]：

有了这个公式，或许吴彦煮就没那么有威胁了

不过在实际情况中，无论班花也好还是股票也好，都不是一个数学公式就能轻易拿下的。原因至少有两点，其一，股市就像少女心一样时常风云突变，充满了未知，绝非普通的布朗运动就能描述的。基于这一考虑，后来的研究者有考虑到了许多更符合实际的模型，例如在Black-Scholes的模型中让参数也变为随机变量（又名随机波动模型，Stochastic Volatility），或者加入不连续跳跃项（Levy过程）等等。

第二个原因在于，Black-Scholes的模型还需要有一些很理想化的假设（例如个体可以无限量贷款、投资产品可以随时立即交易且无手续费），而这些假设很可能在现实中并不成立。和Black-Scholes假设相似的另一个例子是，2013年诺贝尔经济学奖获得者尤金・法玛受到数学家芒福德（分形理论创始人）的影响提出了效率市场假说[8]，从数学观点看来，该假说本质上就是在假设股票价格包含所有信息，且投资者行为独立的前提下，市场符合随机游走模型（离散版的随机微分方程）。该假说受到彼得・林奇和巴菲特等众多大人物的反对，主要原因就在于其假设前提不符合实际（股票价格可能存在泡沫）。

还有一点值得特别注意，即Black-Scholes公式最初是用来解决欧式期权（European Option）的定价问题，而期权和期货等金融衍生品在国内都还属于比较新兴的概念，因而经典的Black-Scholes公式在国内的适用范围较为有限。如此看来数学分析尽管严谨，却也未必能反应实际情况。我们再来听听数据分析师们的意见吧。

数据分析师的观点

和前面两种理论家不同，数据分析师们都是实干主义者。虽然随机微分方程提供了一种数值模拟的方法，但理论略微复杂，更多人喜欢采用计量经济学中的回归分析手段，或者时间序列模型，两者各司其职。其中回归分析更偏重于寻找数据间的内在联系，而时间序列则偏重于预测未来趋势。

这里笔者介绍一种运用较多的时间序列模型：GARCH（广义条件异方差自回归模型），它是ARCH（条件异方差自回归模型）的推广。大家可不要小看这个生僻的名词，ARCH模型的提出者Robert F. Engle正是因此获得了2003年诺贝尔经济学奖。

时间序列的概念其实很简单。通俗地讲，任何和时间相关的数据就是时间序列，例如某个地区的月降水量数据，再例如李雷每天在韩梅梅身上的开支，都是时间序列。在统计学里面，数据都是随机变量，故时间序列又可以看作是和时间相关的随机变量，这样看来，时间序列实际上是随机过程的一个特例。

不过既然时间序列分析能从随机过程中独立出来形成一门新的学科，便一定有其内在的道理，其中的道理就在于时间序列数据之间的相关性。例如最经典的时间序列模型，AR(p)、MA(q)、ARMA(p,q)等，它们的共同之处就在于都假设了相邻时间序列数据的相关性，只不过拥有不同的结构，具体定义可参考文献[9]。符合ARCH(q)模型和GARCH(p,q)模型的时间序列不仅数据本身具有相关性，并且这些数据的方差具有相关性：

图中所有未知参数都不小于零

这两个模型看起来很简单，但之所以能获得诺贝尔奖，是因为他们比Black-Scholes模型能够更加准确地描述证券市场的波动情况。其中的关键就在于这两个模型能把异方差假设和计算简洁性有效地综合在一起。

我们以百度股指为例，来看看GARCH模型的威力。R语言具有强大且高效的统计分析能力，笔者选用其中的“rugarch”包来进行模拟。模拟的代码如下：

r语言的的统计宏包很多，使用简单

我们先看看百度近十年间百度的百度股价变化（数据下载自雅虎金融）：

尽管负面声音不少，但百度的股指表现依然算得上稳健。我们着重研究它的波动率，需要去掉它的趋势因素。因此笔者采用了线性回归以提取残差信息：

使用简单的GARCH(1,1)模型拟合以上数据，我们可以得到以上残差（取绝对值后）和GARCH模型的预测值 ：

双线傍地走，安能辨我是真伪

模拟和真实数据达到惊人的吻合。数据分析师们不相信直觉，再利用t检验验算结果，得到的报告如下：

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最优参数

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          估计值      标准误差        t检验量           p值

a0     0.033893    0.020276       1.6715        0.094616

a       0.449369    0.025424      17.6749       0.000000

b       0.549558    0.022549      24.3719       0.000000

其中a0、a和b分别表示GARCH(1,1)模型中的三个未知参数，其中a和b对应的p值小得连R语言都无法显示了（不一定等于零），表明这两个参数关键性很高；不过a0的p值较高，显著性或许不足。其他的各种检验结果表明，尽管并不完美，GARCH(1,1)的拟合还算不赖。

笔者在之前提到过，时间序列分析的一大价值在于，它能预测未来。我们来看看GARCH模型对百度股指在50天内表现的预测：

可见预测误差还是比较大的，如果李雷想应用这种模型来确定追韩梅梅的策略，很难不被吴彦煮乘虚而入。为了更好的预测未来，李雷可以考虑采用GARCH模型的升级版eGARCH、tGARCH等，并随机微分方程一并使用，也可以采用非线性回归的方法来计算残差。不过无论如何，情场股市都有风险，投资皆需谨慎，目前为止没有一个模型是尽善尽美的，就算再完美的数学模型，也只能描述数据间的内在信息，无法囊括社会因素等外界信息。这就是为什么我们不能完全依靠数据做出判断。

总结

金融学起源于近代西方，进入中国的时间较晚，因此国内外对“金融”的看法有诸多不同之处。相信通过本文，读者们对金融学，尤其是量化金融的分析手段有了一个大致的了解。社会学专家、数学家和数据分析师在金融学的海洋中各显神通，各有优缺点，若能取长补短综合分析，才能达到最好的效果。但要做到这一点着实不易。

现代科学发展虽然分支越来越细化，但不同学科之间的交流也日益频繁。例如金融数学中无比热门的随机微分方程，其实是物理学家朗之万（Langevin，德布罗意的老师，并曾和居里夫人有过婚外情）首先提出的，最初是用来描述自由粒子的布朗运动。随机微分方程领域许多重要结果，例如连接随机微分方程和确定性方程的Feymann-Kac公式[7]以及Fokker-Planck方程（其实就是马尔可夫过程中Kolmogolov方程的特殊情境，也可以看作热方程的某种推广）都是物理学家们的杰作，这些结果在金融领域发挥了意想不到的作用。因此笔者相信，未来的金融领域还会不断出现新的分析方法，而这些方法很可能来自于其他领域。

Fokker-Planck方程的本质

话题回到金钱本身。金钱当然不会是李杜说所那样，如同粪土一般。但正如孔子所言：“君子爱财取之有道”，切记不要被金钱乱了心智，毕竟世界之大无奇不有，值得人们关注话题还有太多太多；赚取不义之财固然一时爽快，久而久之却可能走上不归路，这是每个人都不愿意看到的。另一方面，如何“既有效又有道地”赚钱永远是一个具有吸引力的课题，还需要靠不同的智慧各显神通。

参考文献：

[1] https://en.wikipedia.org/wiki/Finance.

[2] https://www.validea.com/blog/garp-pegs-and-peter-lynch/.

[3] 严加安，《金融数学引论》，现代数学基础丛书 146，科学出版社。

[4] John C. Hull, Options, Futures, and Other Derivatives, Prentice Hall 2012.

[5] Rob Kaas et. al, Modern Actuarial Risk Theory Using R, Springer 2008.

[6] http://www.nobelprize.org/nobel_prizes/economic-sciences/laureates/1997/press.html.

[7] B Øksendal, Stochastic differential equations, Springer 2003.

[8] http://www.nobelprize.org/nobel_prizes/economic-sciences/laureates/2013/press.html.

[9] 何书元，《应用时间序列分析》， 北京大学出版社。

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