不管古希腊人对世界的观念如何，最重要的事情是其在数学上所做的工作。整个古希腊文明在科学上所做的工作非常多，做出贡献的大师可说是群星灿烂，不过最终总结起来主要就是两本书：亚里士多德的《工具论》，以及欧几里德的《几何原本》。前一本书是对古希腊大量智者逻辑学研究的总结，后者是对数学研究的集大成之作。《几何原本》不仅仅是建立了整套的平面几何学，更重要的是为科学理论应当如何建立提供了第一个模版，它为后世所有想把自己称为是“科学理论”的学术成就提供了必须遵守的标准。这里我们主要简单介绍《几何原本》以及由它确定的科学理论结构和模式。事实上，当逻辑学和数学建立之后，它们是怎么获得的就不是太重要了。人类既然已经拥有了它们，只要明白它们本身就足够了。它们已经被创造了，就不需要再被重新创造一回。因此，其他任何文明都没必要去后悔自己为什么没有建立数学和逻辑学，只要在此基础上获得更多科学成就即可。

要进行任何科学的研究，必须要确定研究的对象和概念。通过逻辑的方法，可以把一些概念的定义建立在另一些概念的基础之上，例如要定义“白马”，就可以用更基本的“马”“毛发”“皮肤”的概念，和颜色“白”的概念来进行定义：“白马”就是“毛发和皮肤颜色为白色的马”。后一些概念又可以通过逻辑方法建立在这些已定义的概念基础之上。但这样总有一些概念是无法再用其他概念来进行定义的。这些最基本的概念就是“不定义的概念”。每一门学科都会有最基本的“不定义的概念”。那么如何确保不定义的概念其内涵和外延都是清晰明了的呢？对不起，数学和逻辑本身无法保证，只能是它们最简单明了，简单到人人一看就明了的程度。

《几何原本》全书共分13卷。书中包含了5条“公理”、5条“公设”、23个定义和467个命题。公理是指一切数学甚至科学中都不用证明的命题，而公设只是在所要研究的理论中不用证明的命题。如欧几里德在此研究的是几何学理论，公设就只是应用于几何学中。著名的“平行公理”，在欧几里德的《几何原本》中就称为“平行公设”（第五公设）。现代数理逻辑把“公设”与“公理”统一了。因此到今天只有公理，极少再提公设。现代公理系统和方法是大数学家D.希尔伯特于1899年提出的，不过其原理与欧几里德建立的公理化方法本质上是一样的。

《几何原本》是用逻辑的方法，系统而完备地建立了过去所研究的所有几何命题之间的逻辑证明关系，被证明的就叫“定理”。简单而直接地来理解就是已经被逻辑证明，从而确定其正确性的真理。但是，要证明定理就需要以其他命题为前提，这个作为前提的命题怎么保证其正确性呢？那就用更基本的命题来证明它。但这样一直往前推，总有一些命题是无法用逻辑和其他命题证明的。这些不能用逻辑和其他命题证明的命题就是“公理”，这与“不定义的概念”有些类似。那怎么保证“公理”是正确的呢？对不起，整个数学和逻辑都没有办法保证。亚里士多德在《形而上学》“卷二章二”中专门讨论了这个问题。他把这称为“第一原理”。

“显然，世上必有第一原理，而事物既不能有无尽列的原因，原因也不能有无尽数的种类……原因的种类若为数无尽，则知识也将成为不可能；因为我们只有肯定了若干种类原因以后，才可以研究知识，若说原因是一个又一个的增加，则在有限的时间内人们就没法列举。”这个第一原理，在科学认识的逻辑方法上表现其实就是公理。但是，这种理解并不是严格证明的，而只是直观上说，好像不假设第一原理没办法，会没完没了，所以只能承认有第一原理。

亚里士多德将原因分为四类：“其一为本体亦即怎是（'为什么'即旨在求得界说最后或最初的一个'为什么'，这就指明了一个原因与原理）〈本因〉；另一是物质或底层〈物因〉；其三为动变的来源〈动因〉；其四相反于动变者，为目的与本善，因为这是一切创生与动变的终极〈极因〉。”

亚里士多德的这四个原因类型中，前三项都是关于认识的，在今天的科学中大致有这样的对应关系：“本因”对应公理和不定义的概念；“物因”对应静态原理（如静力学原理）或物质构成（如现在认识到的分子、原子、基本粒子等）；“动因”对应动态原理（如动力学原理）。当然，从今天的科学来看，“静态”与“动态”的区分已经是非常相对而非绝对的了。例如质量在过去被认为是一个静态的问题，但现在的科学已经指明这种认识已经远远不够了。爱因斯坦的质能公式已经指出静态的质量是可以转化为动态能量的。第四个“极因”则是与认识相对应的另外一个方面的“科学应用”问题。

其实，平面几何中是可以有多种不同选择来选出公理的，但既然不能直接用逻辑来证明，那就最好是选择最简单明了、最容易确认其正确性的命题来当“公理”。所以，直到今天的科学对“公理”的理解就是简单明了到“不证自明”。

单纯一条公理所能证明的定理是有限的，要证明几何学中的所有定理，需要一定数量的公理。因此，要证明几何学中的所有定理，必须要有足够的公理数量。这些足够数量的公理和不定义的概念，就构成“公理体系”，通过这个公理体系，就可逻辑地推导出它们所决定的所有定理。这个性质和要求就是公理体系的“完备性”。

如果某一个被选择的“公理”最后发现可以被其他公理逻辑地推导出来，那它就不能被当作公理了，因为这显然“多余”。公理的数量要被减少到最少的程度，这就是科学理论结构和形态上的“简单性”。它所对应的是公理体系的“独立性”，就是任何公理与其他公理是不能有逻辑证明关系的，是逻辑上相互独立的。

如果一个公理被发现与其他公理之间是有逻辑矛盾的，按逻辑不矛盾律的要求，其中必有一个正确，另一个错误，错误的当然就必须被抛弃。这是公理体系的“一致性”。

“一致性”“独立性”和“完备性”，这就是公理体系的三个最基本性质。

所需要强调的一点是，公理体系的简单性显然不意味着公理的数量只能有一个，现代数理逻辑甚至发现一些公理体系的公理数量非常庞大、甚至是无穷多的公理体系。

如果按上述公理体系的结构来考察，很多学术理论并不完全符合科学的理论结构和模式要求，并且对理论的科学性应当是什么样的存在极大的误解。例如，弗洛伊德认为人的心理全都是由“力比多”决定的，而阿德勒又认为“自卑情结”是决定人一切心理的基础。这些理论都有些“一元论”的倾向，虽然其并未明确说明，但有“公理只容许有一个”的潜在错误认识问题。在这种情况下当然很难获得完备的科学理论。

以上按逻辑和数学建立的科学理论的确非常完美，但也留下了很多问题：

1.不定义的概念怎么确定？不定义的概念不能依赖于其他概念来进行定义，那么这些概念如何确定其涵义、外延和保证其科学性。

2.公理如何获得和保证其正确性？“不证自明”与其说是一个解决方法，不如说是在没办法解决的情况下，只是要给一个说法，事实上等于把这个问题给放下和回避了。现代数学逻辑发展过程中曾把这个问题重新捡起来，想仅仅在数理逻辑的范畴内来解决这个问题，最终还是失败了。虽然这样，直到今天很多人依然把它当作获得和确保科学真理的一个方法。美国《独立宣言》中确定的主要原则全都是通过“不证自明”来保证的。整个《独立宣言》全都是以这种方式来保证其理论，宣言中在一开始要阐述自己观点时就说道：“我们认为这些真理是不证自明的。”（We hold these truths to be self-evident)但是，科学必须对一切认识对象都给出科学的解决方法，“一切不通过科学方法保证的东西都绝无可能自明”

3.公理体系虽然在理论上说已经决定了其中所有的定理，但一般来说，即使一个公理体系内部的定理也都很可能是无穷无尽的，而人类不可能一下子去研究无穷无尽的对象。一切定理都是在一定边界条件下获得的，所谓“边界条件”其实就是有一定限定条件情况下，此时可定义相应的更细节概念。从今天看来就是形成科学分支或细分领域的情况，或者就是一个具体科学问题或研究课题的情况。那么如何确定哪些边界条件下的定理才是我们优先要研究和解决的呢？这只有通过测量现实条件哪个问题多，哪个重要，就哪个优先。

以上问题，其实就是第二次科学革命以后的科学发展所要解决的，它们只有通过对现实的客观研究对象的测量才能获得和确定，而不能仅仅靠古希腊科学的观念来解决。

《实验、测量与科学》倡导的第三代科学文明，将彻底解决第二次科学革命所遗留的问题，本书开发出的超高灵敏度和超高精确度的“科学探针”不仅可以准确无误地探测出所有非科学的理论假说，而且可以准确无误地显示出每一个有意义的科学理论发展，其关键进步点在哪里。

作者简介

汪涛

独立学者

人类第三次科学革命倡导者，纯科学理论体系创始人

云铝股份（000807）独立董事

浙江宇视科技 顾问

上海析易船舶 联合创始人

中央民族大学中俄能源研究院 客座教授

中关村长风联盟 国际化导师

中国农投会、中关村京港澳青年创新中心等创业导师

曾为中兴通讯（000063）国际市场管理体系的奠基人

著 作：

《通播网宣言》

《生态社会人口论》

《超越战争论——战争与和平的数学原理》

《实验、测量与科学》

《即将来临的粮食世界大战》（即将出版）

《纯电动拯救世界》（即将重新出版）

《科学经济学——看见看不见的手》（即将出版）

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