汪炼成，刘毅飞  《中国芯集成电路人才培养工程》 2020/04/23

       去年上半导体器件物理中“载流子有效质量”相关章节时候，正好碰上《流浪地球》在火爆上映。《流浪地球》根据刘慈欣同名小说改编，讲述了若干年后人类在面临太阳即将毁灭的绝境时，毅然开启“流浪地球”计划，利用建在地面上的一万台等离子发动机推动地球慢慢脱离公转轨道并飞出太阳系，最终远航至4.2光年外的比邻星。但是在途径木星时，地球受到巨大引力牵引，几乎要正面撞上木星而彻底毁灭，多亏了“吴京“等英雄们的拼死努力，地球与全人类得以挽救。中国帅哥美女，拯救地球。电影的场面感大气磅礴，现在仍记忆犹新。后来饶有兴致的追索了流浪地球中的物理学，发现流浪地球中的“引力弹弓”和半导体器件中的“电子有效质量”及一维弹簧谐振子的运动非常大的相似和类比性，很有意思。      

半导体中电子的运动同时受到原子核的周期性势场（这个势场和晶格周期相同）以及其他电子势场综合作用，不太可能将这些内部受力清楚的计算出来，并且也无必要，因此提出了“有效质量”的概念。有效质量概括了半导体内部势场的作用，使得研究半导体中电子的运动规律时更为简便，因为有效质量可由试验测定。有效质量将晶体中电子的加速度与外加的作用力联系起来，并且包含了晶体中的内力作用效果，但是学生对有效质量的理解并不那么容易。“有效质量”并不是电子真正的质量，而是代表能带中电子受外力时，外力与加速度的一个比例系数。并且有效质量还有正负之分，而质量只能为正。其中有效质量为负，代表外力的作用方向和电子的运动方向相反，即电子给晶格供给能量。

电子在周期晶格中做周期运动，外力不变（我们假设为正值），其速度变化的原因是由于有效质量在变化。电子能量、速度与有效质量与波数的关系有如图1所示：电子从左边的X2进入，经过X3，X0和X1，再到右边的X2出来，即为一个周期。左右边的X2位等效点。

我们来分析X0，X1和X2段电子的运动。X0点电子速度为零，在X1处达到速度最大值，意味着在X0—X1段电子在做加速度逐渐减小的加速运动，在X1处加速度为零（速度最大值处加速度为零，如果X1处加速度大于零的话，电子速度将在X1处后面继续增大，而小于零话电子速度将在X1前面某处达到最大）。由于外力不变，故电子有效质量在X0—X1段逐渐增大到X1处的极大值。同时由于电子速度单向增大，故有效质量在在X0—X1段均为正，对应为下面的有效质量曲线。

而在X1—X2（右）—X2（左）—X3段，电子从X1处为正速度最大值，在X2处为零（不是速度最小值），并开始反向，在X3处为负速度最大值，意味着电子在X1—X2段电子在做加速度逐渐增大的减速运动，在X2—X3段做加速度逐渐减小的加速运动。X1—X2段加速度逐渐增大，速度减小，意味着有效质量为负，且在加速度极小的X1处有最大绝对值。由于外力设置为正，故由F=ma, 加速度也为负。X2—X3段加速度逐渐减小，速度增大到最大值，此段加速度由负变到X3处的零，因此有效质量为负，X3处达到绝对值最大。

在“流浪地球引力弹弓”中，地球在宇宙运动的过程中受到来自各个天体对其产生的引力，受力情况复杂，其中可以将地球受到木星的引力看作恒定外力，其他天体的引力看作内力，地球运动轨迹如图3所示。地球在近木点速度将达到最大值，意味着地球在趋近近木点运动时做加速度逐渐减小的加速运动，恒定外力条件下即意味着有效质量逐渐增大。在近木点加速度为零，而有效质量将达到最大值。且在地球趋近近木点运动过程中，速度与加速度方向一致，有效质量为正值。而地球在远木点时速度达到最小值，意味着地球在趋离近木点运动时做加速度逐渐增加的减速运动，恒定外力条件下即意味着有效质量绝对值逐渐减小，在远木点加速度最大，有效质量绝对值达到最小值。在此过程中，加速度与加速度方向相反，有效质量为负值。于是地球近木星点相当于X1点（流浪地球被引力弹弓吸引过去时）和X3点（流浪地球被引力弹弓吸引回来时），而地球近木星则为X0和X2点。

图1：速度、有效质量、电子能量与波数的关系    

 图2：电子能量E与波数k关系

  图3： 流浪地球引力弹弓示意

                                                                 图4：一维弹簧谐振子   

此外也可用一维弹簧谐振子的模型类比晶体中电子的运动：将物体与弹簧连成一维弹簧谐振系统，物体受到恒定外力。如图4所示，O点为平衡位置，B点、C点分别为弹簧形变量最大位置。当物体从经过平衡点向右运动时（如从图4中O点向C点运动），物体的正向速度逐渐减小，意味着加速度为负，判断物质的有效质量为负，且绝对值逐渐减小；在C点物体的速度降为零，在物体从OC方向趋近C点时，外力不变（弹簧力为内力），加速度为负且增大，有效质量则为负，且绝对值逐渐减小；在物体从CO方向趋离C点时，速度为负且绝对值逐渐增大，表明加速度为负，且逐渐减小，判断物质的有效质量为负，且绝对值增大，在O点将达到绝对值最大值。

 对比流浪地球、弹簧振子和晶格中的电子：地球近木星点、弹簧振子O点相当于X1点（流浪地球被引力弹弓吸引过去时）和X3点（流浪地球被引力弹弓吸引回来时），而地球远木星点、弹簧振子C点则相当于X0和X2点。

这样具象的讲解不仅简化了有效质量的抽象概念，也体现了有效质量与研究对象的具体位置有关的特性。当然流浪地球与周期晶格中载流子运动的不同点在于，后者的运动是周期性的，而前者在实际故事上不会是周期的。在这个类比中，我们假想流浪地球也是周期运动的，即以木星近地点为中心，做来回振荡周期运动。当然宇宙中木星等星球的分布是不均匀非周期性的，与电子运动所在的周期性晶格不一样。流浪地球、弹簧振子与电子运动的比较粗糙和简单的形象类比，只是为了加深对有效质量的理解，增加学习的趣味性。

     总结起来关于有效质量的几个要点：

1. 牢记F=ma，其中F为外力（注意不是内力，弹簧振子中弹簧力威内力），一般为不变量，且可以人为设置为正，a为加速度，m为有效质量；

2. 加速度在速率极值处为零，加速度的正负取决于速度的方向及增减（如，速度正向递增，则加速度为正；速度负向递减，则加速度为正）。

3. 由加速度大小变化可以得到有效质量变化，有效质量大小与加速度成反比，有效质量与加速度同正负（外力为正）。