能控丰富性与能控椭球

     我定义的单位能控域是指一般线性系统在单位输入变量下 $\left(\left\Vert u_{t}\right\Vert _{\infty}\leq1,t\in[0,T]\right)$ 所有能控的状态组成的区域（空间），并将此区域的体积作为一个测度用于衡量系统的状态控制能力，并将此体积命名为能控丰富性（controllable abundance）。实际上，在状态空间控制理论中，基于能控格拉姆矩阵（controllable Grammian matrix）定义了一个能控椭球（controllable ellipsoid），其为在单位输入能量下 $\left(\int_{0}^{T}\left\Vert u_{t}\right\Vert _{2}\mathrm{d}t\leq1,t\in[0,T]\right)$ 所有能控的状态组成的区域（空间）,也可作为衡量系统状态控制能力的一个测度。

    单位能控域与能控椭球都可用作控制能力的测度，但两者的不同之处在于：

    1. 单位能控域的边界就是最速（最小时间）控制问题中在[0,T]时间内最速控制能控的最大（远）初始状态，而能控椭球的边界就是最小燃料控制问题中在[0,T]时间内最小燃料控制能控的最大（远）初始状态；

    2. 单位能控域的大小（体积）与控制问题求解时控制律的解空间的大小有直接的正比关系，即能控丰富性大（单位能控域体积大），则控制中的控制律解空间大，可以设计的控制律就呈现多样性和丰富性，闭环控制系统可以达到更佳的性能指标和鲁棒性。而对能控椭球，迄今没有见到相类似的结果。

    3. 基于能控丰富性和能控丰富性优化设计，可以直接为许多控制方法确定控制时域和优化时域等参数（控制时域和优化时域是否使目标状态和跟踪轨迹等是否在能控域或能达域）、目标状态和跟踪轨迹（目标状态和跟踪轨迹是否在能控域或能达域）等提供理论上的支撑和确定方法。而能控椭球仅能为最小燃料控制问题的提供相应的支撑。

     从上述初步讨论可知，能控丰富性作为控制能力的测度更直接、更具一般性，应用范围相对更大。