线性连续系统的能观丰富性

     在我的文章arXiv1705.08064(On Controllable Abundance Of Saturated-input Linear Discrete Systems)中,定义了Controllable Abundance(能控丰富性,能控充裕性)这一关于系统控制能力的新测度。该测度也可以推广至对系统状态的观测能力的研究,定义observable abundance(能观丰富性,能观充裕性)这一精准刻画对系统状态的观测能力的新测度。

1. 线性连续系统的单位能观域 $R_{o,T}$ 的定义

     【定义1】 线性连续系统的 $T$ 时刻单位能观域 $R_{o,T}$ 是指对可测的输出变量 $y_{t}$ 在单位量程 $\left(\left\Vert y_{t}\right\Vert _{\infty}\leq1,t\in[0,T]\right)$ 下所测到的输出序列 $\{y_{t},t\in[0,T]\}$ 能唯一确定系统在 $t=0$ 这一初始时刻的所有可能的初始状态 $x_{0}$ 所构成的区域。

2. 线性连续系统的能观丰富性的定义

      【定义2】 线性连续系统的 $T$ 时刻能观丰富性定义为由T时刻单位能观区域 $R_{o,T}$ 的空间维数 $r_{T}$ 和体积 $v_{o,T}$ 组成的二元数 $(r_{T},v_{o,T})$ 。

3. $n$ 维状态空间中的线性连续系统 $\varSigma(A,C)$ 的能观丰富性的计算

3.1 $r_{o,T}=\mathrm{rank\;}P_{o,n}$ ，其中

$P_{o,n}=\left[\begin{array}{c} C\\ CA\\ \vdots\\ CA^{n-1} \end{array}\right]$

3.2 $v_{o,T}=\mathrm{Vol}(R_{o,T})$ ，其中

$R_{o,T}=\left\{ \left.x_{0}\right|y_{t}=Ce^{At}x_{0},\left\Vert y_{t}\right\Vert _{\infty}\leq1,t\in[0,T]\right\}$

上述定义式亦可表示为

$R_{o,T}=\left\{ \left.x_{0}\right|x_{0}=W{}_{o,T}^{-1}z,\forall z\in\widetilde{R}_{o,T}\right\}$

其中 $W_{o,T}$ 和 $\widetilde{R}_{o,T}$ 分别如下定义的线性连续系统的能观格拉姆(Gramm)矩阵和n维空间的几何体

    $W_{o,T}=\int_{0}^{T}e^{A^{T}t}C^{T}Ce^{At}\mathrm{d}t$ ，

    $\widetilde{R}_{o,T}=\left\{ \left.z\right|z=\int_{0}^{T}e^{A^{T}t}C^{T}y_{t}\mathrm{d}t,\left\Vert y_{t}\right\Vert _{\infty}\leq1,t\in[0,T]\right\}$

该几何体体的形状、边界、体积计算等与描述连续系统能控丰富性的能控域一致。

     单位能观域 $R_{o,T}$ 为几何体 $\widetilde{R}_{o,T}$ 经过线性空间变换(变换矩阵为 $W_{o,T}^{-1}$ 的旋转变换)得到的几何体,两者的体积满足

$\mathrm{Vol}(R_{o,T})=\left|W_{o,T}^{-1}\right|\mathrm{Vol}(\widetilde{R}_{o,T})$

即,能观丰富性 $v_{o,T}$ 可由计算如下

$v_{o,T}=\mathrm{Vol}(R_{o,T})=\left|W_{o,T}\right|^{-1}\mathrm{Vol}(\widetilde{R}_{o,T})$