线性离散系统的能观丰富性

     在文章arXiv1705.08064(On Controllable Abundance Of Saturated-input Linear Discrete Systems)中，定义了Controllable Abundance(能控丰富性,能控充裕性)这一关于系统控制能力的新测度。该测度也可以推广至对系统状态的观测能力的研究，定义observable abundance(能观丰富性,能观充裕性)这一精准刻画对系统状态的观测能力的新测度。

1. 线性离散系统的单位能观域R_{o,N} 的定义

     【定义1】. 线性离散系统的单位能观域 $R_{o,N}$ 是指可测的输出变量 $y_{k}$ 在单位量程 $\left(\left\Vert y_{k}\right\Vert _{\infty}\leq1,k=0,1,\cdots,N-1\right)$ 下所测到的输出序列 $\{y_{k},k=0,1,\cdots,N-1\}$ 能唯一确定系统在 $k=0$ 这一初始时刻的所有可能的初始状态 $x_{0}$ 所构成的区域。

2. 线性离散系统的能观丰富性的定义

     【定义2】 线性离散系统的能观丰富性定义为由单位能观域 $R_{o,N}$ 的空间维数 $r_{N}$ 和体积 $v_{o,N}$ 组成的二元数 $(r_{N},v_{o,N})$ 。

3. 线性离散系统 $\varSigma(A,C)$ 的能观丰富性的计算

3.1 $r_{o,N}=\mathrm{rank\;}P_{o,N}$

其中

$P_{o,N}=\left[\begin{array}{c} C\\ CA\\ \vdots\\ CA^{N-1} \end{array}\right]$

3.2 $v_{o,N}=\mathrm{Vol}(R_{o,N})$

其中

        $R_{o,N}=\left\{ \left.x_{0}\right|y_{0,N-1}=P_{o,N}x_{0},\left\Vert y_{0,N-1}\right\Vert _{\infty}\leq1\right\}$

        $y_{0,N-1}=\left[y_{0}^{T},y_{1}^{T},\cdots,y_{N-1}^{T}\right]^{T}$

问题是这个单位能观域 $R_{o,N}$ 是什么形状的几何体，它的体积 $v_{o,N}$ 如何计算？这一个单位能观域 $R_{o,N}$ 与能控域 $R_{c,N}$ 显然不是一个简单的对偶关系！！！