一个特殊多面体体积的递推计算

本人的文章arXiv1705.08064(On Controllable Abundance Of Saturated-input Linear Discrete Systems) 给出并证明了由n维向量组 $A_{m}=\{a_{1},a_{2},\cdots,a_{m}\}(m\geq n)$ 及区间 $\text{[0,1]}$ 的参数所张成的n维空间的平行多面体 $C_{n}(A_{m}))$ 的体积为

$V_{n}(C_{n}(A_{m}))=\sum_{(i_{1},i_{2},\cdots,i_{n})\in\Omega_{1,m}^{n}}\left|\mathrm{det}([a_{i_{1}},a_{i_{2}},\cdots\text{,}a_{i_{n}}])\right|$

其中 $\Omega_{1,m}^{n}$ 为由 $\{1,2,\cdots,m\}$ 中任意挑 $n$ 个不同的数并按数的大小组成的排列 $(i_{1},i_{2},\cdots,i_{n})$ 的所有可能组成的集合。对某类由 $n\times n$ 维矩阵 $A$ 和 $n$ 维向量 $B$ 生成的向量组 $G_{m}=\{b,Ab,\cdots,A^{m-1}b\}$ ,其相应的平行多面体 $C_{n}(G{}_{m}))$ 的体积在 $m\geq n+1$ 时可递推计算如下

$V_{n}(C_{n}(G_{m}))&=\sum_{(i_{1},i_{2},\cdots,i_{n})\in\Omega_{0,m-1}^{n}}\left|\mathrm{det}([A^{i_{1}}b,A^{i_{2}}b,\cdots,A^{i_{n}}b])\right|$            

          $=\left(1+\left|\mathrm{det}(A)\right|\right)V_{n}(C_{n}(G_{m-1}))+\sum_{(i_{2},i_{3},\cdots,i_{n-1})\in\Omega_{1,m-2}^{n-2}}\left|\mathrm{det}([b,A^{i_{2}}b,\cdots,A^{i_{n-1}}b,A^{m-1}b])\right|$

                  $-\left|\mathrm{det}(A)\right|V_{n}(C_{n}(G_{m-2}))$

上式于2017年5月推导并给出