线性连续系统的能控丰富性的逼近计算

      已有研究指出在单位输入能量 $\left(\left\Vert u_{t}\right\Vert _{\infty}\leq1,\forall t\right)$ 约束下线性连续时间系统 $\Sigma(A,B)$ 的能控域的定义为 $R_{x}=\left\{ z\left|z=\int_{0}^{T}e^{-At}Bu_{t}\textrm{d}t,\left\Vert u_{t}\right\Vert _{\infty}\leq1\right.\right\}$

若将时间 $[0,T]$ 进行 $N$ 等分，则有如下离散时间点

$t_{i}=i\varDelta,\quad i=0,2,\cdots,N\noindent$

其中 $\varDelta=T/N$ 。则连续系统的能控域 $R_{cx}$ 可由下式近似

$R_{dx}=\left\{ z\left|z=\sum_{i=0}^{N-1}G^{i}Hu_{t_{i}},\left|u_{t_{i}}\right|\leq1,i=0,1,\cdots,N-1\right.\right\}$

其中

$G=e^{-A\Delta},\qquad H=\int_{0}^{\Delta}e^{-At}\textrm{d}tB$

则对于本人的文章arXiv1705.08064(On Controllable Abundance Of Saturated-input Linear Discrete Systems)中定义的刻画输入变量的控制效率和控制有效性的状态能控能力的测度—能控丰富性的计算问题，则可以利用离散系统的能控丰富性计算近似有限时间的连续系统的能控丰富性计算，即只要 $N$ 充分大，则有

$\mathrm{Vol}\left(R_{cx}\right)\approx\mathrm{Vol}\left(R_{dx}\right)$

其中 $\mathrm{Vol}\left(R_{cx}\right)$ 和 $\mathrm{Vol}\left(R_{dx}\right)$ 分别为连续系统和离散系统的能控丰富性。当 $N$ 逐渐增大时，上述逼近计算的精度将越来越高。