线性离散系统的能达丰富性

1. 线性离散系统的单位能达域 $R_{r,N}$ 的定义

     【定义1】. 线性离散系统的单位能达域 $R_{r,N}$ 是指在单位输入能量 $\left(\left\Vert u_{k}\right\Vert _{\infty}\leq1,k=0,1,\cdots,N-1\right)$ 下系统由状态空间原点在有限采样步数 $N$ 内到达的所有可能状态 $x_{N}$ 所构成的区域。

2. 线性离散系统的能达丰富性的定义

     【定义2】 线性离散系统的能达丰富性定义为由单位能达区域 $R_{r,N}$ 的空间维数 $r_{N}$ 和体积 $v_{r,N}$ 组成的二元数 $(r_{N},v_{r,N})$ 。

3. 线性离散系统 $\varSigma(A,B)$ 的能达丰富性的计算

   线性离散系统 $\varSigma(A,B)$ 的能达丰富性的计算

3.1 $r_{N}=\mathrm{rank\;}P_{r,N}$

其中

$P_{r,N}=\left[B,AB,\cdots,A^{N-1}B\right],\quad n^{*}=\min\{n,N\}$

3.2 $v_{r,N}=\mathrm{Vol}(R_{r,N})$

其中

        $R_{r,N}=\left\{ \left.x_{N}\right|x_{N}=P_{r,N}u_{0,N-1},\left\Vert u_{0,N-1}\right\Vert _{\infty}\leq1\right\}$

        $u_{0,N-1}=\left[u_{N-1}^{T},u_{N-2}^{T},\cdots,u_{0}^{T}\right]^{T}$

4. 平行多面体 $R_{r,N}$ 的体积计算

$\mathrm{Vol}(R_{r,N})=2^{r_{n}}V_{r_{n}}\left(C_{r_{n}}(P_{r,N})\right)$

其中体积函数 $V_{n}(\bullet)$ 和多面体 $C_{n}(\bullet)$ 的定义和 计算见博文“

一个n维空间的特殊几何体的体积计算”(http://blog.sciencenet.cn/blog-3343777-1061572.html)。

上述结果部分见我的文章arXiv1705.08064(On Controllable Abundance Of Saturated-input Linear Discrete Systems)