单输入系统有限时间能控丰富性的一个估计

本人的文章arXiv1705.08064(On Controllable Abundance Of Saturated-input Linear Discrete Systems) 里定义了线性离散系统的controllable abundance(能控丰富性、能控充裕性)。对单输入单输出(SISO)线性离散系统，这里能控丰富性计算可转化为由 $n\times n$ 维矩阵 $A$ 和 $n$ 维向量 $b$ 生成的向量组 $G_{N}=\{b,Ab,\cdots,A^{N-1}b\}(N\geq n+1)$ 张成的平行多面体 $C_{n}(G{}_{N}))$ 的如下体积计算

$V_{n}(C_{n}(G_{N}))=\sum_{(i_{1},i_{2},\cdots,i_{n})\in\Omega_{0,N-1}^{n}}\left|\mathrm{det}([A^{i_{1}}b,A^{i_{2}}b,\cdots,A^{i_{n}}b])\right|$

基于我的博文“一个特殊范德蒙矩阵的行列式值估计”(http://blog.sciencenet.cn/blog-3343777-1063861.html)，因此当矩阵 $A$ 的特征值均为实的单根时，有上述定义的能控丰富性在有限时间 $N$ 下的一个估计

$V_{n}(C_{n}(G_{N}))=\left[\sum_{(i_{1},i_{2},\cdots,i_{n})\in\Omega_{0,N-1}^{n}}h(\lambda_{\overline{1,n}},n_{i_{\overline{1,n}}})\right]\left|\prod_{1\leq j_{1}

其中 $h(\lambda_{\overline{1,n}},n_{i_{\overline{1,n}}})$ 为关于 $n$ 元变量 $\lambda_{\overline{1,n}}=\{\lambda_{1},\lambda_{2},\cdots,\lambda_{n}\}$ 的 $n_{i_{\overline{1,n}}}$ 次的齐次多元多项式,且各项的系数均为非负,即 $h(\lambda_{\overline{1,n}},n_{i_{\overline{1,n}}})$ 可表示为

        $h(\lambda_{\overline{1,n}},n_{i_{\overline{1,n}}})=\sum_{\sum_{j=1}^{n}s_{j}=n_{i_{\overline{1,n}}}}g_{s_{\overline{1,n}}}\prod_{j=1}^{n}\lambda_{j}^{s_{j}}$

        $n_{i_{\overline{1,n}}}=\sum_{j=1}^{n}\left(i_{j}-j+1\right)$

其中 $s_{\overline{1,n}}=\{s_{1},s_{2},\cdots,s_{n}\},$ 所有 $g_{s_{\overline{i,n}}}\geq0$ 且至少存在某个 $g_{s_{\overline{i,n}}}>0$ .上式可总结为

$V_{n}(C_{n}(G_{N}))=\hat{h}\left(\lambda_{\overline{1,n}},n(N-n)\right)\left|\prod_{1\leq j_{1}

其中 $\hat{h}\left(\lambda_{\overline{1,n}},n(N-n)\right)$ 为关于 $n$ 元变量 $\lambda_{\overline{1,n}}$ 的最高幂次为 $n(N-n)$ 的多元多项式,且各项的系数均为非负，即 $\hat{h}(\lambda_{\overline{1,n}},M)$ 可表示为

$\hat{h}(\lambda_{\overline{1,n}},M)=\sum_{\sum_{j=1}^{n}s_{j}\leq M}g_{s_{\overline{1,n}}}\prod_{j=1}^{n}\lambda_{j}^{s_{j}}$

2017.7月给出并证明,并用于一个特殊多面体的体积计算