线性离散系统的能控丰富性计算的open问题

    本人的文章arXiv1705.08064(On Controllable Abundance Of Saturated-input Linear Discrete Systems) 里定义了线性离散系统的controllable abundance(能控丰富性、能控充裕性)如下：

$$ $v_{c,N}=\mathrm{Vol}(R_{c,N})$

其中 $R_{c,N}" original="http://latex.codecogs.com/gif.latex?R_{c,N}" style="margin:0px;padding:0px;word-wrap:break-word;max-width:620px;font-family:tahoma, helvetica, simsun, sans-serif, hei;font-size:14px;line-height:25.2px;background-color:#ffffff;$ 为系统的状态能控域， $\mathrm{Vol}(\bullet)$ 为体积计算。对单输入单输出(SISO)线性离散系统，这里体积计算可转化为 由 $n\times n$ 维矩阵 $A$ 和 $n$ 维向量 $b$ 生成的向量组 $G_{N}=\{b,Ab,\cdots,A^{N-1}b\}(N\geq n+1)$ ,其相应的平行多面体 $C_{n}(G{}_{N}))$ 的体积可计算如下：

$V_{n}(C_{n}(G_{N}))=\sum_{(i_{1},i_{2},\cdots,i_{n})\in\Omega_{0,N-1}^{n}}\left|\mathrm{det}([A^{i_{1}}b,A^{i_{2}}b,\cdots,A^{i_{n}}b])\right|$

   对上述问题，由于其计算涉及排列组合，故其计算复杂性偏高。目前除对矩阵 $A$ 的特征值 $\lambda_{i}(i=1,2,\cdots,n)$ 均为单根且为正实数时，给出并证明无限时间的能控丰富性 $v_{c,\infty}$ 的解析计算外，还存在如下能控丰富性计算的open问题：

1. 对有限时间的能控丰富性 $v_{c,N}$ 的解析计算问题，或计算复杂性低的快速计算问题；

2. 当系统矩阵 $A$ 为有复根的矩阵时，无限时间的能控丰富性 $v_{c,\infty}$ 的解析计算；

3. 当系统矩阵 $A$ 为有重根的约旦矩阵时，无限时间的能控丰富性 $v_{c,\infty}$ 的解析计算。

对本人提出的controllable abundance（能控丰富性、能控充裕性）有兴趣的研究人员，可以一起探讨相关的研究工作