如果使双曲线绕其对称轴旋转, 就会得到圆柱单叶双曲面。

式中，a为单叶双曲面喉部半径；c/a为单叶双曲面的形状系数。

单叶双曲面是直纹面，其上有两组直母线族（称为二次线列及其互补线列）,各线列内母线彼此相错（skew）互不相交,而与其互补线列中的母线永远相交（这里，我们认为两平行直线交于无穷远处）。这一性质有许多应用，例如，许多化工厂或热电厂的冷却塔就是采用了单叶双曲面的形式。立杆时,使它们构成一个单叶双曲面(就是两组母线族),并使它们在交点处连接,就会得到一个非常轻巧而又非常坚固的建筑。

同样，我们也可以利用这一性质构造标准六自由度并联机构。选择一条母线，它的矩与x轴成  角，沿z轴旋转，共获得三条直线。把这三条直线作为一组并沿XOZ平面作镜像映射，获得另外一组三条直线。显然，这两组中的任意一条直线，与另一组中的三条直线都相交。这样，我们一共可以获得九个交点。它们可以组成三个圆。把半径最小的圆，作为上平台，另两个半径稍大的圆作为下平台，可以获得两个3-3型标准并联机构。如果用平行于XOY面的平面对3-3型进行切割，就会得到6-3型和6-6型标准并联机构了。这样做的特点是，雅克比阵可以保持不变。

    随着 角的改变，我们会得到无数个标准并联机构。它们都是由同一个单叶双曲面产生的，是一个族。这个族具有什么样的共同性质呢？答案是：此时它们的雅克比阵的奇异值保持不变。也就是说标准并联机构的雅克比阵的奇异值只取决于圆柱单叶双曲面的形状和喉部半径的大小。圆柱单叶双曲面就好像一个圆，而六自由度并联机构则像圆的内接多边形。

有了新的定义，我们只需要两个参数就可以描述一个族的标准六自由度并联机构了。有了新的定义，我们可以根据圆柱单叶双曲面母线的普吕克坐标，很容易写出标准六自由度并联机构的雅克比阵。

    我们在新的定义下可以做很多事情：

   标准六自由度并联机构分类：一个参数确定的单叶双曲面定义了一个族的标准并联机构，如果0<<pi/6,相应地并联机构的分布圆半径比1/2<n₁<1, 0<n₂<1/2，即获得了上铰圆和下铰圆之比从零到一之间所有的3-3型并联机构，而此时其刚度阵与该比值无关保持不变。

   实现无量纲化设计：采用传统的定义，最困难的地方就是选择特征尺度。而新的定义告诉我们完全可以采用单叶双曲面喉部的半径作为比例因子对并联机构进行缩放。另外，如果考虑动态各向同性条件，这一特征尺度则完全取决于负载的质量几何特性；而单叶双曲面的形状则完全取决于动态各向同性条件。

H.Z. Jiang, Z.Z. Tong, J.F. He, Dynamic Isotropic Design of a Class of Gough-Stewart Parallel Manipulators Lying on a Circular Hyperboloid of One Sheet, Mechanism and Machine Theory,46(2011):358-374