楔子

本文阐述自然科学研究中建模的涵义和方法，论及模型的作用、分类、数学建模要旨和一般过程，并提供若干建模案例。

大    纲

一、引言

二、模型的分类

三、数学模型概述

四、案例分析

五、结束语

一、引言 

建模是建立科学理论的基础，这是因为：

——很多理论的建立基于假说性机制——模型；

——关于自然的总体模型构成深刻的信念背景；

——总体模型决定科研的基本方向、概念、方法；

——各个领域建立模型引领找到解决问题的途径；

——模型常可超越现有条件，给科研指明方向；

——模型可导致完整的科学理论的建立。

稍有科研经验的学人很容易理解上述各点，实际例子不胜枚举，这里不作赘述。

二、模型的分类 

总体来说，科学理论中的模型大致可以分成如下三类：

物理模型：指的是，人们用经验中比较熟悉的、可观察的图像来表示未知对象的整体、结构的一种模型，用直观的素材综合成一幅对象的整体图像。使得理论知识具体化，科学解释的逻辑过程简单化。例如，原子结构模型（汤姆孙布丁模型——卢瑟福行星模型——玻尔液滴模型——壳层模型、集体模型……）

理想模型：指的是，把研究对象的本质属性和基本过程以某种极限形式表现出来。既有高度抽象性，又有某种极限状态。例如，理想质点，理想刚体，理想气体，理想黑体，理想流体等等。

数学模型：指的是，针对研究对象的数量特征或数学依赖关系，采用形式化的数学语言近似地表达出来的一种数学结构，具体表现为一组数学关系或一套具体算法。例如，万有引力定律、欧姆定律等等。

本文主要阐述数学模型的构建要领。

 三、数学模型概述

数学建模的涵义和要旨在于：

数学建模是根据需要针对实际问题构建数学模型的过程，亦即，通过抽象和简化，使用数学语言对实际现象和实际问题进行近似刻画，以便于更深刻地认识所研究的对象。数学模型不是对现实系统的简单的复制和模拟，而是经过对现实现象进行分析、提炼、归纳、升华的结果，是以数学语言来正确地描绘现实对象的基本内在特征，从而通过数学上的演绎推理和分析，运用解析、实验（保持相似律成立）或数值求解。

数学建模的一般过程如下：

首先，基于一系列基本的简化假设，把实际问题中的数学描绘明确地表述出来，也就是说，通过对实际问题的分析、归纳、简化，给出用以描述该问题的数学提法；然后采用数学的理论和方法进行求解，得出结论；最后再返回去阐释所研究的实际问题，总结一般规律，即实现上述“应用数学过程”，在数学理论和所要解决的实际问题之间构建一座桥梁。

展开来说，数学建模的具体步骤如下：

1.通过调研，掌握实际问题的背景材料。明确研究对象（如物理问题、工程问题）和研究目的，了解相关的数据资料和基本事实（包括已有理论结果、观察结果、观测数据、实验资料等），提出清晰的基本目标，并在实际研究过程中随时准备不断修正预期目标；

2.辨识并列出与问题有关的各主要因素。建立基本假设，简化所研究的问题。明确模型中必须考虑的主要因素，预测、分析它们在问题中的作用，以变量或参数的形式表示这些因素。建模之初通常应最大限度地简化问题，建立最简单的模型，然后不断调整假设，提出修正，使得模型尽可能接近实际；

3.运用物理和数学知识和技巧建立问题中变量之间的关系。通常可以用离散的或连续的数学表达式来描述，例如，比例关系（如：牛顿粘性定律）、线性关系（如：广义牛顿粘性定律、胡克定律等）、非线性关系（如：非牛顿流体的本构关系、物理非线性材料的本构方程）、经验关系（如：反映非光滑管的阻力系数的尼古拉捷规律、水动力学摩阻的Manning公式等）、输入输出原理（如：元胞自动机模型的演进规则）、平衡原理（如：热动平衡规律、捕食者和猎物之间的关系等）、守恒原理（如：能量守恒、质量守恒、动量守恒、KdV守恒律等）、牛顿运动定律、微分方程或差分方程、矩阵关系、概率关系、统计分布等等（变量之间的关系不一定非要用方程来描述，只要能解决问题，可用各种方法确定问题的物理量之间的关系，例如离散映射关系），从而建立问题的数学模型。常见的表述各物理量之间的关系的有：代数方程，映射关系，差分方程，常微分方程，偏微分方程，积分方程，积分-微分方程等等；

4.进行参数辨识或参数标定。使用观测数据或问题的相关背景知识，辨识出问题中的参数的估计值；设计专门实验，标定参数。参数辨识和标定经常采用实测方法和数理统计方法。由于问题的参数辨识较为困难，所以成功的模型应该是简单的，所涉及参数尽可能地少且容易辨识；

5.运用所得的模型，进行分析求解。采用各种有效的数学工具求解所得到的数学方程等，然后，分析、解释模型的结果或把模型运行的结果与实际观测进行比较，开展进一步的案例分析，验证模型的正确性；

6.总结一般规律。对验证成立的数学模型进行总结归纳，尽可能上升到新的理论高度。

四、案例分析 

这里提供若干案例，限于篇幅，对各个案例仅作提纲挈领的描述。

 案例一、哥尼斯堡七桥问题

问题：哥尼斯堡城有一条河，现在用七座桥来连接河的两岸A、B和河中两岛C、D，试问：可否一次性不重复地走过这七座桥？

模型：1734年，Euler解决了这个问题。他把问题抽象简化为图论中的一笔划问题：数学上可证明：一笔划的基本要求是各点要有偶数条起迄路径，但是本题四点起迄路径均为奇数条，从而不可实现一笔划。即不能一次性不重复走过这七座桥。

案例二 ：流体力学基本方程的导出

常用的流体力学基本方程的导出，充分体现了上述建模思路，最值得注意的是一开始采用的简化假设。

简化假设：

1.      牛顿力学假设成立。只讨论流速远小于光速和特征长度远大于原子尺度的情形，即不考虑相对论效应和量子效应；若此假设不成立，则由相对论流体力学等理论来应对；

2.      连续介质假设成立。每一宏观小、微观大的流体微团里含有足够多的流体分子，微团紧密地排列着；若此假设不成立，则由稀薄气体力学等理论来应对；

3.      热动平衡假设成立。认为运动的流体微团处于热平衡，即分子运动趋于平衡的弛豫时间远小于问题的特征时间；若此假设不成立，则由非平衡态流体力学等理论来应对；

4.      热力学第一、第二定律成立（即能量守恒律和熵增定律成立）；

5.      亥姆霍兹速度分解定理成立（速度=平动速度+转动速度+变形速度）；

6.      广义牛顿粘性定律成立。假设运动流体中的剪切应力等于流体应变率分量的线性齐次组合（含广义粘性系数81个）。考虑此定律不成立的情形属于非牛顿流体力学范畴；若此假设不成立，则由非牛顿流体力学等理论来应对；

7.      流体各向同性假设成立。于是，广义粘性系数从81个缩减为2个；若此假设不成立，则由各向异性流体力学等理论来应对；

8.      Stokes假设成立。即假设流体的第二粘性系数（体积粘性系数）为零，不考虑流体压缩或膨胀中的粘性阻滞效应；若此假设不成立，只是使得方程形式稍微复杂一点；

9.      运动流体中温度不是很高且无急剧变化。可近似地认为流体的粘性系数与温度无关。可以认为温度不太高，不会产生电离和离解现象；若此假设不成立，则由化学流体力学、磁流体力学等理论来应对；

10.  流体均质假设成立。不考虑分层流体、异重流及随之而来的浮力等效应；若此假设不成立，则由分层流流体力学等理论来应对。

限于篇幅，这里不讲导出的具体步骤，仅指出其中的要点：

    ——上述十个假设的重要性各不相同。其中前五个假设是实质性的，在这些假设下，已可导出“应力型”的流体力学方程；接着的三个假设是非必要的，但从假设6可导出常见的“速度+热力学参数”型的方程，假设7、8可使方程得到进一步简化；最后两个假设更是可有可无的了。然而，给予上述假设，就产生应用得最为广泛的流体力学基本方程。

——可采用“加减法”进一步使得基本方程“复杂化”或“简单化”，例如，要计及地球旋转效应时，就产生了大气动力学方程，等等；再如，倘若假设外力有势，流体无粘且是正压的，就可导出很简单的伯努利方程，等等。

 案例三 兰彻斯特战争模型（日美硫磺岛之战）

问题：根据典型战例，导出一类描写交战双方实力演变的数学模型。日美硫磺岛之战是二战中一个大战役。1945年2月19日开始，历时36天，以日军全军覆没告终，希望定量描述双方士兵的伤亡过程，以期用于预测类似战例。

双方兵力对比：守军（日军）21500人（无增援）；美军：首批登陆54000人（两次增援：6000人，13000人）

建模思路：

1）采用Lanchester线性律，建立线性常微分方程组：

2）利用Morehouse上尉保存的美军减员统计表标定方程中的两个参数；

3）用常见方法解方程，所得的解符合实际。

   案例四：交通流的元胞自动机模型

u    自动机：由输入、内部状态、输出三部分构成，按一定规则演化的机制。

u    元胞自动机：分布在点阵上的一个或几个自动机，且系统满足空间群的对称性；数学上来说，它以离散的形式来描述动力学系统的演化过程，为非线性迭代或映射。

u    运用元胞自动机理论的基本步骤：

1)确定点阵；

2)规定状态变量；

3)制定演化规则；

4)数值模拟；

5）结果分析。

实例 ：Nagel-Schreckenberg模型

由Nagel和Schreckenberg于1992年 提出，由四个更新规则（加速、减速、随机慢化、位置更新）来描述高速公路交通。根据这一简单模型，经过数值模拟，可再现一些复杂的交通现象，如交通阻塞的形成等。

 五、结束语

根据上述，可有如下结论：

u    建模是科学研究中的关键步骤；

u    建模必须抓大放小，直击问题实质；

u    数学建模必须有灵活性；

u    建模要领应在反复实践中体会。

初稿：2013年3月14日，香港

二稿：2013年10月26日，上海