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学习漫谈（101）：抓住要害 模化现实——谈科研方法：9. 建模篇
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楔子
本文阐述自然科学研究中建模的涵义和方法，论及模型的作用、分类、数学建模要旨和一般过程，并提供若干建模案例。
大 纲
一、引言
二、模型的分类
三、数学模型概述
四、案例分析
五、结束语
一、引言
建模是建立科学理论的基础，这是因为：
——很多理论的建立基于假说性机制——模型；
——关于自然的总体模型构成深刻的信念背景；
——总体模型决定科研的基本方向、概念、方法；
——各个领域建立模型引领找到解决问题的途径；
——模型常可超越现有条件，给科研指明方向；
——模型可导致完整的科学理论的建立。
稍有科研经验的学人很容易理解上述各点，实际例子不胜枚举，这里不作赘述。
二、模型的分类
总体来说，科学理论中的模型大致可以分成如下三类：
物理模型：指的是，人们用经验中比较熟悉的、可观察的图像来表示未知对象的整体、结构的一种模型，用直观的素材综合成一幅对象的整体图像。使得理论知识具体化，科学解释的逻辑过程简单化。例如，原子结构模型（汤姆孙布丁模型——卢瑟福行星模型——玻尔液滴模型——壳层模型、集体模型……）
理想模型：指的是，把研究对象的本质属性和基本过程以某种极限形式表现出来。既有高度抽象性，又有某种极限状态。例如，理想质点，理想刚体，理想气体，理想黑体，理想流体等等。
数学模型：指的是，针对研究对象的数量特征或数学依赖关系，采用形式化的数学语言近似地表达出来的一种数学结构，具体表现为一组数学关系或一套具体算法。例如，万有引力定律、欧姆定律等等。
本文主要阐述数学模型的构建要领。
三、数学模型概述
数学建模的涵义和要旨在于：
数学建模是根据需要针对实际问题构建数学模型的过程，亦即，通过抽象和简化，使用数学语言对实际现象和实际问题进行近似刻画，以便于更深刻地认识所研究的对象。数学模型不是对现实系统的简单的复制和模拟，而是经过对现实现象进行分析、提炼、归纳、升华的结果，是以数学语言来正确地描绘现实对象的基本内在特征，从而通过数学上的演绎推理和分析，运用解析、实验（保持相似律成立）或数值求解。
数学建模的一般过程如下：
首先，基于一系列基本的简化假设，把实际问题中的数学描绘明确地表述出来，也就是说，通过对实际问题的分析、归纳、简化，给出用以描述该问题的数学提法；然后采用数学的理论和方法进行求解，得出结论；最后再返回去阐释所研究的实际问题，总结一般规律，即实现上述“应用数学过程”，在数学理论和所要解决的实际问题之间构建一座桥梁。
展开来说，数学建模的具体步骤如下：
1.通过调研，掌握实际问题的背景材料。明确研究对象（如物理问题、工程问题）和研究目的，了解相关的数据资料和基本事实（包括已有理论结果、观察结果、观测数据、实验资料等），提出清晰的基本目标，并在实际研究过程中随时准备不断修正预期目标；
2.辨识并列出与问题有关的各主要因素。建立基本假设，简化所研究的问题。明确模型中必须考虑的主要因素，预测、分析它们在问题中的作用，以变量或参数的形式表示这些因素。建模之初通常应最大限度地简化问题，建立最简单的模型，然后不断调整假设，提出修正，使得模型尽可能接近实际；
3.运用物理和数学知识和技巧建立问题中变量之间的关系。通常可以用离散的或连续的数学表达式来描述，例如，比例关系（如：牛顿粘性定律）、线性关系（如：广义牛顿粘性定律、胡克定律等）、非线性关系（如：非牛顿流体的本构关系、物理非线性材料的本构方程）、经验关系（如：反映非光滑管的阻力系数的尼古拉捷规律、水动力学摩阻的Manning公式等）、输入输出原理（如：元胞自动机模型的演进规则）、平衡原理（如：热动平衡规律、捕食者和猎物之间的关系等）、守恒原理（如：能量守恒、质量守恒、动量守恒、KdV守恒律等）、牛顿运动定律、微分方程或差分方程、矩阵关系、概率关系、统计分布等等（变量之间的关系不一定非要用方程来描述，只要能解决问题，可用各种方法确定问题的物理量之间的关系，例如离散映射关系），从而建立问题的数学模型。常见的表述各物理量之间的关系的有：代数方程，映射关系，差分方程，常微分方程，偏微分方程，积分方程，积分-微分方程等等；
4.进行参数辨识或参数标定。使用观测数据或问题的相关背景知识，辨识出问题中的参数的估计值；设计专门实验，标定参数。参数辨识和标定经常采用实测方法和数理统计方法。由于问题的参数辨识较为困难，所以成功的模型应该是简单的，所涉及参数尽可能地少且容易辨识；
5.运用所得的模型，进行分析求解。采用各种有效的数学工具求解所得到的数学方程等，然后，分析、解释模型的结果或把模型运行的结果与实际观测进行比较，开展进一步的案例分析，验证模型的正确性；
6.总结一般规律。对验证成立的数学模型进行总结归纳，尽可能上升到新的理论高度。
四、案例分析
这里提供若干案例，限于篇幅，对各个案例仅作提纲挈领的描述。
案例一、哥尼斯堡七桥问题
问题：哥尼斯堡城有一条河，现在用七座桥来连接河的两岸A、B和河中两岛C、D，试问：可否一次性不重复地走过这七座桥？
模型：1734年，Euler解决了这个问题。他把问题抽象简化为图论中的一笔划问题：数学上可证明：一笔划的基本要求是各点要有偶数条起迄路径，但是本题四点起迄路径均为奇数条，从而不可实现一笔划。即不能一次性不重复走过这七座桥。
案例二 ：流体力学基本方程的导出
常用的流体力学基本方程的导出，充分体现了上述建模思路，最值得注意的是一开始采用的简化假设。
简化假设：
1. 牛顿力学假设成立。只讨论流速远小于光速和特征长度远大于原子尺度的情形，即不考虑相对论效应和量子效应；若此假设不成立，则由相对论流体力学等理论来应对；
2. 连续介质假设成立。每一宏观小、微观大的流体微团里含有足够多的流体分子，微团紧密地排列着；若此假设不成立，则由稀薄气体力学等理论来应对；
3. 热动平衡假设成立。认为运动的流体微团处于热平衡，即分子运动趋于平衡的弛豫时间远小于问题的特征时间；若此假设不成立，则由非平衡态流体力学等理论来应对；
4. 热力学第一、第二定律成立（即能量守恒律和熵增定律成立）；
5. 亥姆霍兹速度分解定理成立（速度=平动速度+转动速度+变形速度）；
6. 广义牛顿粘性定律成立。假设运动流体中的剪切应力等于流体应变率分量的线性齐次组合（含广义粘性系数81个）。考虑此定律不成立的情形属于非牛顿流体力学范畴；若此假设不成立，则由非牛顿流体力学等理论来应对；
7. 流体各向同性假设成立。于是，广义粘性系数从81个缩减为2个；若此假设不成立，则由各向异性流体力学等理论来应对；
8. Stokes假设成立。即假设流体的第二粘性系数（体积粘性系数）为零，不考虑流体压缩或膨胀中的粘性阻滞效应；若此假设不成立，只是使得方程形式稍微复杂一点；
9. 运动流体中温度不是很高且无急剧变化。可近似地认为流体的粘性系数与温度无关。可以认为温度不太高，不会产生电离和离解现象；若此假设不成立，则由化学流体力学、磁流体力学等理论来应对；
10. 流体均质假设成立。不考虑分层流体、异重流及随之而来的浮力等效应；若此假设不成立，则由分层流流体力学等理论来应对。
限于篇幅，这里不讲导出的具体步骤，仅指出其中的要点：
——上述十个假设的重要性各不相同。其中前五个假设是实质性的，在这些假设下，已可导出“应力型”的流体力学方程；接着的三个假设是非必要的，但从假设6可导出常见的“速度+热力学参数”型的方程，假设7、8可使方程得到进一步简化；最后两个假设更是可有可无的了。然而，给予上述假设，就产生应用得最为广泛的流体力学基本方程。
——可采用“加减法”进一步使得基本方程“复杂化”或“简单化”，例如，要计及地球旋转效应时，就产生了大气动力学方程，等等；再如，倘若假设外力有势，流体无粘且是正压的，就可导出很简单的伯努利方程，等等。
案例三 兰彻斯特战争模型（日美硫磺岛之战）
问题：根据典型战例，导出一类描写交战双方实力演变的数学模型。日美硫磺岛之战是二战中一个大战役。1945年2月19日开始，历时36天，以日军全军覆没告终，希望定量描述双方士兵的伤亡过程，以期用于预测类似战例。
双方兵力对比：守军（日军）21500人（无增援）；美军：首批登陆54000人（两次增援：6000人，13000人）
建模思路：
1）采用Lanchester线性律，建立线性常微分方程组：
2）利用Morehouse上尉保存的美军减员统计表标定方程中的两个参数；
3）用常见方法解方程，所得的解符合实际。
案例四：交通流的元胞自动机模型
u 自动机：由输入、内部状态、输出三部分构成，按一定规则演化的机制。
u 元胞自动机：分布在点阵上的一个或几个自动机，且系统满足空间群的对称性；数学上来说，它以离散的形式来描述动力学系统的演化过程，为非线性迭代或映射。
u 运用元胞自动机理论的基本步骤：
1)确定点阵；
2)规定状态变量；
3)制定演化规则；
4)数值模拟；
5）结果分析。
实例 ：Nagel-Schreckenberg模型
由Nagel和Schreckenberg于1992年 提出，由四个更新规则（加速、减速、随机慢化、位置更新）来描述高速公路交通。根据这一简单模型，经过数值模拟，可再现一些复杂的交通现象，如交通阻塞的形成等。
五、结束语
根据上述，可有如下结论：
u 建模是科学研究中的关键步骤；
u 建模必须抓大放小，直击问题实质；
u 数学建模必须有灵活性；
u 建模要领应在反复实践中体会。
初稿：2013年3月14日，香港
二稿：2013年10月26日，上海
https://blog.sciencenet.cn/blog-330732-736168.html
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