下文节选自《破解引力广义相对论诞生之路》一书

     从上面的讨论中可以看到，爱因斯坦在1913年得到的引力场方程存在两个致命问题。 第一个致命问题是根据该引力理论计算出的水星近日点进动与观测数据严重不符；第二个致命问题是这个新引力场方程不满足广义协变性，即只有在坐标系线性变换下，方程的形式才是保持不变的,在一般坐标系变换下并不能保持不变。

      对于第一个致命问题，从1913年下半年到1915年，爱因斯坦与好朋友 M.Beso一起 合作对此问题进行了大量的计算❶，但计算结果却是❷：进动的修正值为每100年进动17′′，而观测数据是每100年进动43′′，这让爱因斯坦非常沮丧。在第27章将会谈到,纯空间的弯 曲对水星近日点进动会产生贡献，但上面刚刚计算出的结果表明引力场中空间的真实长度并 没有发生改变，即纯空间没有弯曲。所以1913年的这个引力场方程当然无法解释水星近日 点的全部进动。

       对 于 第 二 个 致 命 问 题 ，从 1913 年 下 半 年 到 1915 年 10 月 份 ， 爱 因 斯 坦 的 思 想 认 识 都 是 处于反复纠结和摇摆不定的状态，思考探索一直都在痛苦的挣扎中展开。首先,爱因斯坦在 《广义相对论与引力理论纲要》中指出：“研究引力场方程满足广义相对性原理还为时尚早，也还没有什么依据。”随后,在1913年8月14日给洛伦兹的信中,他认为引力场方程只具 有线性变换协变性是一种不幸，是和等效原理相矛盾的❸ 。但不久之后,在11月7日和11 月底给埃伦费斯特的两封信中他却认为由于能量守恒的要求,具有广义协变性的引力场方程 是不可能存在的 (前面刚刚论证过这一点)，并且他对这个只具有线性变换协变性的引力场 方程已经非常满意了❹ 。在12月底给马赫的信中,爱因斯坦继续认为，能量守恒的要求导 致引力场方程只能具有线性变换协变性❺ 。在1914年1月24日写出的论文 《广义相对论与 引力论的基础》中，他对同行们认为 “引力场方程不具有广义协变性是一个致命缺陷”的观 点进行了反驳❻ 。到了1914年3月份,在给埃伦费斯特和 H.Zangger的两封信中,爱因斯 坦又回过头来,认为由于等效原理的要求,广义协变性是需要被满足的，并且声称这个问题 已经把他弄得筋疲力尽❼ 。这些纠结让爱因斯坦在5月29日又写了一篇讨论该问题的论文 《引力理论的场方程在广义相对论基础上的协变性》，而该论文又再次认为:在能量守恒的要 求下，引力场方程无法具有广义协变性。并且爱因斯坦在此论文中还提出一个空腔例子来论证：为了从引力场方程中求解出度规gμν 的确切值，引力场方程也不能具有广义协变性❽ (第 25 章还会谈到这 一 点 )。

        但是，爱因斯坦理论最核心的部分———等效原理想要发挥作用 (就像以前章节讨论的那 样),那么在空间的局部，允许任意的坐标系变换 (即加速参考系之间的变换)就成为了必 需。特别是当他意识到 “在引力场中，等效原理只在空间局部才成立”成为不可避免的情况 时，“广义协变性是必需”的结论也就不可避免了 (第24章将会详细解释这一点)。这让爱 因斯坦对此问题又仔细研究了一遍,在1914年10月9日写出了 《广义相对论的形式基础》，一个被他称为 “是以汗流浃背为代价换来的理论”❾ 。经过这一次非常仔细的研究，爱因斯坦在12月底给埃伦费斯特的信中承认,之前在 《引力理论的场方程在广义相对论基础上的 协变性》中得出的结论 “并没有完全搞好”❶。这一结果让爱因斯坦陷入了痛苦的两难境地, 在 1915 年 的 前 10 个 月 , 爱因斯坦都没有找到破解这个困境的方法 。 从 1915 年 3 月 15 日 到5月5日,在给列维-奇维塔的10封书信中,爱因斯坦与列维-奇维塔对 《广义相对论的形式 基础》中推导引力场方程的一个关键环节进行了持续争论❷ 。这个关键环节涉及的本质就是：如何正确地从变分原理推导出引力场方程。不过这场争论并没有给爱因斯坦带来最终正确的答案,并且这个关键环节还引起了 “数学界的亚历山大”———希尔伯特的注意,让爱因 斯坦有了无比强劲的竞争对手。但这场争论也让爱因斯坦在接下来的几个月不断深入思考这 个问题,比如在7月12日给索末菲的信中他写道:“迄今为止阐述的广义相对论都是不全面的......”❸ 而且从10月12日给洛伦兹的信中可以看到❹ ，直到这个时候,爱因斯坦仍然没有 找到解决这个关键环节的钥匙 (即变分原理中拉氏量的正确表达式)。但是转折点就出现在 这个10月份,似乎在换了一个思考角度之后,一次顿悟就让爱因斯坦在短短一个月之内就走出了 “泥塘”，完美地解决了所有相关难题。第25章将会详细讨论这次转折和解决过程。

         刚刚谈到，第二个致命问题必须得到解决是由于等效原理的局域性让广义协变性成为了必需，所以，这个结论非常关键和重要。那么下一章就先来详细讨论一下等效原理与广义相对性原理之间的关系