图 文 导 读

1. 提出了求解二维和三维偏微分方程数值解的新框架；

2. 提出了基于Fourier级数的局部无网格配点法；

3. 为大规模工程问题的精确、高效数值模拟提供了新的求解思路。

1. A new framework for the numerical solutions of 2D and 3D partial differential equations is proposed.

2. A localized Fourier collocation method for large-scale engineering simulations is proposed.

3. A self-contained source code written in MATLAB is provided.

配点法(Collocation Method)被广泛应用于偏微分方程的数值求解。谱方法(Spectral Method)作为配点法的一种，常采用正交多项式或三角函数作为插值基函数。然而，谱方法选用的插值基函数一般是全域的(Global Support)，从而导致该类方法形成的系数矩阵是非对称稠密阵，计算量和存储量均较大，不适宜数值求解大规模工程问题。

青岛大学谷岩教授、河海大学傅卓佳教授和俄罗斯库班国立大学M.V. Golub教授合作在《国际机械系统动力学学报（英文）》(International Journal of Mechanical System Dynamics, IJMSD)发表“基于Fourier级数的局部无网格配点法：理论与MATLAB程序”研究论文。该文提出了一种基于Fourier级数的局部无网格配点法，建立了局部的(Local Support)、分片Fourier插值离散格式。新方法生成的系数矩阵是稀疏的，在保持传统谱方法计算精度高、收敛速度快等优点的同时，极大地提高了其求解大规模复杂工程问题的能力。

Abstract: A localized Fourier collocation method is proposed for solving certain types of elliptic boundary value problems. The method first discretizes the entire domain into a set of overlapping small subdomains, and then in each of the subdomains, the unknown functions and their derivatives are approximated using the pseudo-spectral Fourier collocation method. The key idea of the present method is to combine the merits of the quick convergence of the pseudo-spectral method and the high sparsity of the localized discretization technique to yield a new framework that may be suitable for large-scale simulations. The present method can be viewed as a competitive alternative for solving numerically large-scale boundary value problems with complex-shape geometries. Preliminary numerical experiments involving Poisson, Helmholtz, and modified-Helmholtz equations in both two and three dimensions are presented to demonstrate the accuracy and efficiency of the proposed method.

Keywords:

meshless method, collocation method, Fourier basis functions, large‐scale problem

DOI: 10.1002/msd2.12061

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Cite this article: Gu Y, Fu Z, Golub MV. A localized Fourier collocation method for 2D and 3D elliptic partial differential equations: Theory and MATLAB code. Int J Mech Syst Dyn. 2022;2(4):339-351.

作 者 简 介

傅卓佳  河海大学教授、博士生导师，德国洪堡学者，国家优秀青年科学基金获得者，中国力学学会计算力学专业委员会计算力学软件专业组委员、无网格与粒子类方法专业组委员、国际华人计算力学协会理事。出版中英文专著各1部，发表学术论文90余篇，连续入选2019和2020年Elsevier中国高被引学者名单。曾获国际华人计算力学协会青年学者奖、杜庆华工程计算方法优秀青年学者奖、International Computational Method Young Investigator Award等荣誉称号或学术奖励。

期 刊 简 介

IJMSD由来自18个国家的21位院士、17位国际学会主席、20位国际期刊主编等69位科学家和国际出版巨头美国Wiley出版社合作创办。主编为国际机械系统动力学学会（International Society of Mechanical System Dynamics, ISMSD）主席、中国科学院院士、南京理工大学芮筱亭院士，3位合作主编为加拿大工程院院士、欧洲科学院院士、加拿大麦吉尔大学Marco Amabili院士，国际理论与应用力学联盟(International Union of Theoretical and Applied Mechanics, IUTAM)前司库、国际多体系统动力学协会(International Association for Multibody System Dynamics, IMSD)前主席、德国斯图加特大学Peter Eberhard教授和美国工程院及科学院院士、欧洲科学院外籍院士、英国皇家学会外籍院士、中国科学院外籍院士、美国工程科学协会前主席、美国西北大学Yonggang Huang院士。

IJMSD旨在用机械系统动力学科学与技术为现代装备设计、制造、试验、评估和使用全生命周期性能的提升提供先进的理论、软件、方法、器件、标准，为全球科学家和工程专家提供广泛的机械系统动力学国际交流平台。IJMSD强调从“系统”视角及系统级工具理解动力学，所涉及的机械系统不仅包括各种不同尺度的机械系统和结构，还包括具有多物理场/多学科特征的综合机械系统。

目前，IJMSD已被ESCI，Scopus，IET Inspec，DOAJ等收录。2023年免收出版费，并为已录用稿件免费提供专业语言润色服务，欢迎全球科学家投稿交流。

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