图 文 导 读

三种稳态响应相图

 分段线性和非线性系统通常表现出复杂多样的动态行为，如常见于土木工程、航空航天、机械工程和基础设施中的振机间隙激励弹簧、具有损伤或间隙的结构、齿轮齿隙和带排转矩等。系统的非线性使其物理问题变得难以求解析解。对单自由度 (single degree  of freedom, SDOF)系统，一些传统方法，如平均法、扰动法和谐波平衡法可以适用；但当自由度个数增加，传统方法变得费时而不再适用，因此数值积分方法成为此类问题寻求近似解的更普遍选择。本研究旨在为使用隐式时间积分法的分段线性和非线性系统提供更加高效且通用的解决方案。

 时间积分法是求解半离散动力方程最常用的数值工具，通常分为显式和隐式两类。显示时间积分方法的缺陷是其条件稳定性，对于线性问题可选时间步长受到稳定区间限制，对于非线性问题则很难确定；并且由于动态方程不能在每个时间步内隐式满足，故该方法对非线性问题的解不可靠。隐式积分法的主要难点在于求解每个时间步具有分段特征的隐式动力学方程。Yu和Fadaee等提出分段线性方程可以转化为等效的线性互补问题(linear complementarity problem, LCP)，然后通过Lemke算法求解的思路；并使用Bozzak-Newmark方法作为方案中的隐式积分器。He等在精确积分法(precise integration method, PIM)和Lemke 算法的基础上采用了类似的想法。上述方法被称为基于LCP的方法，仅适用于分段线性特性是动力学方程中唯一非线性的情况，已成功应用于模拟多自由度(multidegree-of-freedom, MDOF)线性系统的动态响应；但若涉及其他非线性情况，则只能使用显式积分器。

 为克服这一局限，北京航空航天大学张慧敏博士、张润森博士和《国际机械系统动力学学报(英文)》(International Journal of Mechanical System Dynamics, IJMSD) 副主编、意大利米兰理工大学Pierangelo Masarati教授团队在IJMSD发表“一种分段线性/非线性系统隐式时间积分的通用方法”研究论文。该文提出了一种用于分段线性和非线性系统的隐式时间积分的普遍方法。与前人将分段线性问题转化为线性互补问题后再通过Lemke算法对每个时间步长进行求解的方法不同，所提出的方法使用投影函数来描述动力学方程中的不连续性，并通过半光滑牛顿迭代来求解每一步长由隐式积分格式得到的非线性方程。与基于LCP的方法相比，新方法允许控制方程中存在其他非线性因素，因而更加通用。

 此外，为了评估所提方法的性能，文中给出多个算例。算例数值解表明：所提方法不仅能较好地预测分段非线性系统，而且在应用于分段线性系统时体现出比基于LCP方法更大的效率优势。

Keywords: 

implicit time integrator; 

piecewise linear and nonlinear systems;

projection function

DOI: 10.1002/msd2.12007

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Cite this article:

Zhang H, Zhang R, Zanoni A, Masarati P. A generalized approach for implicit time integration of piecewise linear/nonlinear systems. Int J Mech Syst Dyn. 2021;1(1):108-120.

作 者 简 介

张慧敏   第一作者兼通信作者，北京航空航天大学航空科学与工程学院博士研究生，研究方向：结构动力学、多体系统动力学、时间积分法。

张润森   北京航空航天大学航空科学与工程学院博士研究生，研究方向：多体系统动力学、非光滑动力学、联合仿真方法。

Andrea Zanoni   意大利米兰理工大学航空学院助理教授，研究方向：多体系统动力学、人机交互、飞行器仿真等。

Pierangelo Masarati   意大利米兰理工大学航空学院教授，IJMSD副主编、The Aeronautical Journal 副主编。Multibody System Dynamics期刊顾问委员会委员，研究方向：多体/多学科系统动力学研究的算法和方法的发展，包括变形性、控制、稳定性、交互力建模、实时仿真等。

                                                               期 刊 简 介

 IJMSD由来自12个国家的15位院士、14位国际学会主席、13位其他国际期刊主编等53位科学家和国际出版巨头美国Wiley出版社合作创立。主编为南京理工大学芮筱亭院士，3位合作主编分别是加拿大皇家学会会士、加拿大工程院院士、欧洲科学院院士、加拿大麦吉尔大学Marco Amabili院士，国际理论与应用力学联盟IUTAM)前司库、国际多体系统动力学协会(IMSD)前主席、德国斯图加特大学Peter Eberhard教授和美国工程院及科学院两院院士、英国皇家学会外籍院士、欧洲科学院外籍院士、中国科学院外籍院士、美国工程科学协会前主席、美国西北大学Yonggang Huang院士。

 IJMSD旨在用机械系统动力学科学与技术为现代装备设计、制造、试验、评估和使用全生命周期性能的提升提供先进的理论、软件、方法、器件、标准，为全球科学家和工程专家提供广泛的机械系统动力学国际交流平台。IMSD强调从“系统”视角及系统级工具理解动力学，所涉及的机械系统不仅包括各种不同尺度的机械系统和结构，还包括具有多物理场/多学科特征的综合机械系统。

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