引用本文

曹连谦, 王立夫, 孔芝, 郭戈. 多层异质复杂网络系统的能控性. 自动化学报, 2024, 50(11): 2140−2153 doi: 10.16383/j.aas.c210654

Cao Lian-Qian, Wang Li-Fu, Kong Zhi, Guo Ge. Controllability of multi-layer heterogeneous complex network systems. Acta Automatica Sinica, 2024, 50(11): 2140−2153 doi: 10.16383/j.aas.c210654

http://www.aas.net.cn/cn/article/doi/10.16383/j.aas.c210654

关键词

网络能控性，异质网络，多层网络，内耦合矩阵 

摘要

研究了节点状态为高维的多层复杂网络系统的能控性问题. 讨论了节点的异质性、层间耦合和层内耦合对网络能控性的影响. 研究发现当节点状态由同质变为异质、内耦合矩阵由相同变为不同时, 对网络能控性均有影响(网络可以由能控变为不能控, 反之亦然). 对层间耦合模式为驱动响应模式和相互依赖模式, 分别给出了网络系统能控的充分条件或必要条件. 相比于直接应用经典的能控性判据, 这些条件更易于验证, 且驱动响应模式比相互依赖模式实现系统完全能控所需的条件更弱.

文章导读

客观世界中的许多系统都可以用复杂网络进行描述, 例如电力网络、交通网络以及互联网络等. 而对复杂网络研究的主要目的之一是让人们更好地了解网络结构和功能, 控制复杂网络的行为使其为人类服务. 例如, 在电力网络中如何选取合适的变电站作为被控节点来实现对整个电力网络的控制; 在交通网络中, 如何对车辆站点进行合理的控制来避免交通拥堵等. 而在对一个网络进行控制之前, 首先要判断这个网络是否能控. 因此复杂网络的能控性是复杂网络系统分析和综合的基本问题[1]. 人们对能控性最早的认识来源于线性系统理论, 并产生了很多能控性判据[2-7]. 然而, 近些年人们发现, 这些判据很难直接应用于大规模复杂网络, 因此很多学者开展了针对大规模复杂网络的能控性的研究, 包括静态网络[8-18]和时序网络[19-23]. 

实际复杂系统抽象成网络, 如果按照层数来进行分类, 可以将大规模网络分为单层网络和多层网络. 对于单层网络, Wang等[24-25]和Hao等[26-27]基于PBH (Popov-Belevitch-Hautus)能控性判据, 研究了节点为高维同质的单层网络系统的能控性. 在此基础上, Hao等[28]研究了一些典型结构的同质网络的能控性. 另外, 许多学者在单层网络能控性方面取得了丰硕的成果[29-33]. 

相比于直接用单层网络描述, 许多实际系统更适合用多层网络来描述, 例如公交−地铁构成的交通网络、互联网−电网构成的网络等[34], 多层网络结构的能控性也已得到较为广泛的研究[35-40]. 当每个节点的维数等于1时, Chapman等[41]提出一个多层网络的分析框架, 将因子网络的能控性和能观性扩展到复合网络上, 并得到系统能控的充要条件. Hao等[42]研究了一类特殊的多层网络的能控性, 并给出了能控的充要条件. Chen等[43]根据张量代数以及多项式控制等理论, 发展了超图网络的能控性, 并推导出类Kalman秩条件来确定实现能控所需的最小控制节点的数量. 当每个节点的维数大于1时, Wu等[44]定义了两类典型的层间耦合模式, 即驱动响应模式和相互依赖模式, 并讨论了其对网络系统平衡稳定性的影响. Wu等[45]研究了多层同质网络的状态能控性, 对层间耦合模式分别为驱动响应模式和相互依赖模式的多层网络, 分别给出了系统能控的一些充分或必要条件, 并揭示了不同的层间耦合模式对网络系统能控性的影响. Jiang等[46]以矩阵方程的形式给出了多层同质网络能控的充要条件, 以及层内网络拓扑为一些特殊结构的网络能控的充分或必要条件. 

以上的研究都是假设网络中每个节点具有相同的动力学特性, 这样的网络称为同质网络. 然而, 现实中许多系统, 每个节点的动力学特性并不相同, 这样的网络称为异质网络. 当前, 对于异质网络状态能控性研究得相对较少, Xiang等[47]从图论和代数的角度给出了一类单层异质网络完全能控的充要条件, 并在文献[48]中研究了节点异质性对整个单层网络系统能控性的影响. 在此基础上, 在文献[49]中对节点之间输入输出是一维且每个节点具有能控规范型的单层异质网络, 设计了一种控制输入, 得到网络能控的充要条件, 并研究了网络拓扑可对角化时的网络系统能控的充要条件. 

综上所述, 目前关于复杂网络能控性的研究, 主要考虑的是单层或多层同质网络的能控性[24-28, 45-46], 关于单层异质网络的能控性也取得了一定进展[47-49], 但多层异质网络的能控性的研究尚属空白, 并且上述研究都是假设节点之间具有相同的内耦合矩阵. 然而, 这个假设较为理想, 在实际中很难满足. 例如, 考虑层间耦合模式为驱动响应模式(信号只能从驱动层传递到响应层)的两层网络, 驱动层由若干个发电机组成, 响应层由若干个电动机组成, 如果将发电机和电动机视为节点, 发电机和电动机的物理参数视为节点的状态. 显然, 每个节点可能具有不同的状态, 并且节点之间可能具有不同的耦合关系. 因此, 部分工程网络建模为具有不相同内耦合矩阵的多层异质网络更符合实际情况. 另外, 许多对于内耦合矩阵相同的多层同质网络成立的结论对多层异质网络(内耦合矩阵相同或不相同)通常不成立或很难直接推广, 所以对于多层异质网络需要展开新的讨论. 

基于以上讨论, 本文研究了节点之间具有不相同的内耦合矩阵的多层异质网络的状态能控性. 主要工作和创新点归纳如下: 

1)揭示了节点异质性以及内耦合矩阵的不相同会影响多层网络的能控性; 

2)针对层间耦合为驱动响应模式的多层异质网络, 分别给出了内耦合矩阵不相同时系统能控的充分条件以及内耦合矩阵相同时系统能控的必要条件; 

3)针对层间耦合为相互依赖模式的多层异质网络, 分别给出了内耦合矩阵不相同时系统能控的充分条件以及内耦合矩阵相同时系统完全能控的一个必要条件. 

图 1  层间耦合为驱动响应模式的两层网络

图 2  层间耦合为相互依赖模式的两层网络

图 3  层间耦合为驱动响应模式的M层网络结构示意图

本文考虑了节点异质且内耦合矩阵不相同的多层网络系统的能控性问题, 揭示了节点的异质性以及内耦合矩阵对网络系统能控性的影响: 网络节点由同质变为异质时, 网络既可由能控变为不能控, 又可由不能控变为能控; 同样, 当网络内耦合矩阵由相同变为不同时, 网络也是既可由能控变为不能控, 又可由不能控变为能控. 本文给出了层间耦合为驱动响应模式和相互依赖模式时, 多层网络系统能控的充分和必要条件, 这些条件对于多层异质网络更容易验证, 且可以清晰地表明多层网络的各组成部分如何具体地影响整个网络系统能控性. 同时, 本文还发现层间耦合为驱动响应模式实现系统完全能控所需的条件弱于相互依赖模式, 即, 在某些情况下无需考虑层间的网络拓扑结构, 更容易判断系统的能控性. 本文的研究结果可为现实的一般网络控制问题提供参考. 

本文对节点异质的多层网络能控性问题仅为初步探讨, 定理中节点状态矩阵不属于完全异质并存在一定的限制条件, 对于相互依赖模式, 仅考虑了2层的网络结构. 而对于更一般的情况, 还需进一步的研究. 

作者简介

曹连谦

东北大学秦皇岛分校硕士研究生. 主要研究方向为复杂网络能控性和网络化系统控制. E-mail: caolianqian@neusoft.edu.cn

王立夫

东北大学秦皇岛分校副教授. 主要研究方向为复杂网络, 同步控制, 能控性, 交通网络. 本文通信作者. E-mail: wlfkz@neuq.edu.cn

孔芝

东北大学秦皇岛分校副教授. 主要研究方向为知识发现, 决策分析, 智能优化算法, 复杂网络. E-mail: kongz@neuq.edu.cn

郭戈

东北大学秦皇岛分校教授. 主要研究方向为智能交通系统, 交通大数据分析, 人工智能应用, 信息物理系统. E-mail: geguo@yeah.net