引用本文

董顺科, 肖敏, 虞文武. Schnakenberg系统的时空斑图演化机理研究. 自动化学报, 2024, 50(8): 1620−1630 doi: 10.16383/j.aas.c230637

Dong Shun-Ke, Xiao Min, Yu Wen-Wu. Study on spatiotemporal pattern evolution mechanism of Schnakenberg system. Acta Automatica Sinica, 2024, 50(8): 1620−1630 doi: 10.16383/j.aas.c230637

http://www.aas.net.cn/cn/article/doi/10.16383/j.aas.c230637

关键词

交叉扩散，Schnakenberg系统，时空斑图，稳定性，环波 

摘要

Schnakenberg系统是一类典型的化学反应扩散控制系统. 目前国内外研究仅局限于Schnakenberg系统的Turing不稳定与分岔, 而关于其化学斑图演化机理的报道较少. 斑图机理分析可以准确揭示化学反应中自组织现象的产生和空间模式的演化规律. 本文研究交叉扩散驱动下Schnakenberg系统斑图的结构蜕变、演化速度及时间依赖性, 重点探讨交叉扩散对其动力学与斑图演化的响应机制. 研究发现, 当自扩散诱导的系统稳定时, 交叉扩散可以激发斑图的产生; 当自扩散诱导的系统不稳定时, 交叉扩散可以实现斑图结构的蜕变; 对于环波结构, 不同组分的交叉扩散可以影响其演化速度; 对于时间依赖性, 交叉扩散可以激发随时间周期变化的斑图产生, 并可将此类斑图转换为随时间相对稳定的斑图. 因此, 交叉扩散对于Schnakenberg系统的斑图产生、蜕变、演化速度及时间依赖性都起着至关重要的作用.

文章导读

Turing[1]在20世纪50年代提出扩散可以诱导斑图的形成, 并称此类斑图为Turing斑图. 他认为, 存在于扩散率差异较大的不同物质之间的反应和扩散过程可以通过自发破坏对称性而形成斑图. 采用反应扩散系统研究斑图已得到了广泛认可[2-6]. 化学反应中也存在着扩散现象, 并且许多化学反应及所涉及的化学物质的扩散过程可以通过反应扩散系统描述. 一系列化学反应扩散模型已被建立起来, 如Schnakenberg模型[7]、Gray-Scott模型[8]、Gierer-Meinhardt模型[9]以及化学反应器模型[10-12]等. 

1979年, Schnakenberg提出了一个化学反应模型作为例子来展示极限环行为[13]. 之后许多学者对Schnakenberg模型不同形式的解进行了广泛研究, 如峰值稳态、脉冲、尖峰解和半解析解等[14-21]. 该系统的局部动力学和分岔问题也已在文献[22-24]中进行了研究. 而对于反应扩散的Schnakenberg系统已经在文献[25-33]中得到广泛研究. 文献[30]针对两组分自扩散的不同比值, 分析了Schnakenberg系统的Turing不稳定性. 文献[31]研究了耦合双细胞Schnakenberg系统的斑图形成. 文献[32]讨论了局部异质性对Schnakenberg系统的斑图与线性稳定性的影响. 值得注意的是, 这些研究只讨论了自扩散对Schnakenberg系统的时空动力学的影响, 没有考虑交叉扩散的因素. 

交叉扩散首先是由Kerner提出的, 考虑了一种形态发生剂靠近或远离另一种的运动可能存在偏差[34]. 这不仅适用于化学反应系统, 也适用于许多其他情况, 如医学[35]、生态学[36]、社会学[37]等. 重要的是, 交叉扩散效应在很大程度上是化学反应扩散系统固有的. 在大多数与化学反应系统相关的工作中都忽略了交叉扩散效应, 但在真实的化学反应中交叉扩散现象是可以被观察到的[38]. 在化学反应系统中引入交叉扩散的一种方便的实验方法是将添加剂或非反应性化学物质引入相关的化学反应系统. 例如, 已证明非反应物在催化Rh(110)表面上的吸附导致均匀态的图灵不稳定性[39]. 引入与BZ反应组分相互作用的非反应物种会由于交叉扩散率而导致图灵型不稳定性[40]. 研究甚至表明, 这类非反应物可以在诱导和调节CDIMA和FIS (Gray-Scott模型)类化学反应系统的斑图方面发挥关键作用[38]. 因此, 似乎很有可能通过实验改变化学反应系统, 以特定的方式改变单个反应物的交叉扩散率. 

考虑到具有交叉扩散的Schnakenberg系统, Curro等[41]引入了一维位置信息并进行线性稳定性分析, 对具有交叉扩散的Schnakenberg系统的Hopf分岔和Turing不稳定性的发生条件进行了分析, 并在弱非线性分析的基础上对该系统进行了一维数值模拟. 而对于引入二维位置信息的Schnakenberg系统, Madzvamuse等[42]使用有限元方法对Schnakenberg模型进行了数值求解, 并说明了引入交叉扩散可以导致斑图的形成. Yang[7]通过数学分析推导了振幅方程, 得出了系统参数作为分岔参数时, 分岔阈值附近不同的系统参数取值所对应的斑图类型. 当前的研究主要局限于Schnakenberg系统的分岔、Turing不稳定性以及对斑图数值仿真的初步结果, 但对斑图的演化机理分析相对较少. 本文将研究含交叉扩散的Schnakenberg系统的斑图的产生、结构蜕变、演化速度以及时间依赖性. 

本文的主要贡献如下: 

1)当自扩散诱导的系统稳定时, 交叉扩散可以激发斑图的形成; 当自扩散诱导的系统不稳定时, 引入交叉扩散系数可以改变斑图的结构, 进而得到更丰富的斑图模式. 

2)在特定的初值条件下得到了一种独特的环波斑图结构, 结合反应机理以及组分的扩散解释了该结构的形成机理; 发现不同组分的交叉扩散系数取值可以加快或减慢该斑图的演化速度, 并揭示了速度改变的原因. 

3)当无扩散的Schnakenberg系统不稳定时, 引入自扩散以及交叉扩散得到了随时间周期变化的斑图, 描述了一个周期的斑图演化过程并估算周期的大小; 改变交叉扩散系数的取值可以将该类依赖时间的斑图转换为随时间相对稳定的传统斑图. 

图 4  不同交叉扩散系数取值的色散关系曲线及斑图

图 5  不同参数组合的斑图结构

图 6  环波形成过程

本文针对Schnakenberg系统, 研究了时空斑图的演化机理, 如斑图的产生、结构蜕变、演化速度以及时间依赖性. 通过线性稳定性分析, 得到了在无扩散、仅含自扩散以及同时含自扩散与交叉扩散情形下Schnakenberg系统在平衡点处局部渐近稳定和Turing不稳定的条件. 绘制色散关系曲线, 并进行数值模拟以验证主要结果. 当自扩散诱导的Schnakenberg系统稳定时, 交叉扩散可以激发斑图的形成; 当自扩散诱导的Schnakenberg系统不稳定时, 通过改变交叉扩散系数的取值可以实现斑图结构的蜕变; 对于环波结构, 不同组分的交叉扩散可以影响其演化速度, 并与Schnakenberg系统反应机理密切相关; 对于斑图的时间依赖性, 交叉扩散的引入可以形成随时间周期变化的斑图, 并且改变交叉扩散系数可以将此类斑图改变为结构随时间相对稳定的斑图. 因此, 交叉扩散对于Schnakenberg系统的斑图产生、结构蜕变、演化速度及时间依赖性都起着至关重要的作用. 

此外, 未来将开展以下工作: 1)引入三维位置信息, 研究Schnakenberg系统的三维空间斑图结构; 2)将整数阶Schnakenberg模型推广至分数阶模型, 研究分数阶次对斑图的影响. 

作者简介

董顺科

南京邮电大学自动化学院、人工智能学院硕士研究生. 主要研究方向为反应扩散系统. E-mail: dongshunke314@163.com

肖敏

南京邮电大学自动化学院、人工智能学院教授. 主要研究方向为非线性控制理论, 复杂网络, 神经网络和反常扩散系统. 本文通信作者. E-mail: candymanxm2003@aliyun.com

虞文武

东南大学数学学院教授. 2010年获得香港城市大学电子工程系博士学位. 主要研究方向为复杂网络系统协同分析, 控制与优化. E-mail: wwyu@seu.edu.cn