引用本文

高哲. 一类采用分数阶PIλ控制器的分数阶系统可镇定性判定准则. 自动化学报, 2017, 43(11): 1993-2002. doi: 10.16383/j.aas.2017.c150875

GAO Zhe. Stabilization Criterion for A Class of Interval Fractional-order Systems Using Fractional-order PIλ Controllers. ACTA AUTOMATICA SINICA, 2017, 43(11): 1993-2002. doi: 10.16383/j.aas.2017.c150875

http://ww.aas.net.cn/cn/article/doi/10.16383/j.aas.2017.c150875

关键词

分数阶系统，区间不确定性，可镇定性，值集，分数阶PIλ控制器 

摘要

针对含有一个分数阶项的区间分数阶被控对象，提出了采用分数阶PIλ控制器的闭环系统可镇定性判定准则.将闭环系统的特征函数分解为扰动函数和标称函数，给出了扰动函数值集顶点的构造方法.根据被控对象分数阶阶次和控制器的阶次，研究了值集形状是否切换和切换频率的计算方法.此外，给出了测试频率区间的上下界，以实现在有限频率区间内判定闭环系统值集与原点的位置关系.在假设值集顶点函数在测试频率区间内不为零和闭环标称系统稳定的情况下，以解析的方式提出了采用分数阶PI^λ控制器闭环系统的可镇定性判定准则.最后，通过对数值算例的可镇定性分析，验证了提出的判定准则的有效性.

文章导读

由于分数阶微积分运算具有记忆特征, 可以更加有效地描述具有扩散性和粘弹性等实际物理系统的动态特性[1], 并且分数阶算子的引入可以使控制器设计方法更加灵活[2], 因此分数阶微积分理论在系统与控制理论方面得到了广泛的应用[3-4].大部分工业现场采用的控制器为各种形式的PID (Propartion integration differentiation)控制器, 因此关于分数阶P^IλD^μ控制器设计和参数整定的研究是各种分数阶控制器最早出现也是成果最多的.分数阶PI^λD^μ控制器是在整数阶PID控制器的基础上, 增加了两个可调参数, 即分数阶积分阶次λ和分数阶微分阶次μ[5], 使控制器设计更加灵活, 与整数阶PID控制相比, 可以获得更好的控制效果[6-7], 并且已经应用到很多实际的控制系统[8-11].

虽然分数阶算子的引入增加了控制器可调参数, 有效地改善了控制效果, 但也为控制器参数的设计带来了新的挑战.文献[12]提出了一阶时滞分数阶系统的分数阶PI^λ控制器的频域设计方法.文献[13]研究了一阶时滞分数阶系统的分数阶PI^λ控制器的可镇定域的绘制方法.在此基础上文献[14−−15]分别提出了考虑H^∞性能和D稳定裕度的分数阶PI^λ控制器和分数阶PI^λD^μ控制器的鲁棒可镇定域的绘制方法.包括分数阶系统在内, 由于受到实际工业现场的各种不确定因素的干扰, 实际的被控对象都含有不确定因素.在复频域上, 对于系数含有区间不确定性的分数阶系统, 文献[16]提出了基于值集的计算方法来判定区间分数阶系统的稳定性, 但是文献[16]方法可能会引入大量的冗余顶点和棱边的计算.为了避免冗余顶点和棱边的计算, 文献[17]提出了构造值集顶点的方法, 并且给出了当同元阶次在1和2之间时, 系统鲁棒稳定性判定方法.对于同元阶次在0和1之间的情况, 文献[18]给出了相应的系统鲁棒稳定性的判定准则.对于含有时滞的区间分数阶系统, 文献[19−20]研究了中立型和滞后型两种系数含有区间不确定性的分数阶系统鲁棒稳定性, 但是都存在冗余顶点的计算问题, 没有给出值集形状的变化过程.针对这个问题, 文献[21]给出了一类时滞区间分数阶系统值集的计算方法, 以避免冗余顶点和棱边的计算, 并且提出了相应的鲁棒稳定性判定准则.针对区间分数阶被控对象的分数阶PI^λ控制器设计研究, 文献[22]提出了相应的控制器可镇定条件, 但是文献[22]提出的控制器设计方法包含了冗余值集顶点对应函数的可镇定性分析, 增加了算法的复杂性.为了解决这个问题, 文献[23]给出了基于分数阶控制器的区间分数阶系统闭环传递函数值集顶点的计算方法, 避免了冗余顶点和棱边的计算, 并且提出了相应的控制器可镇区间分数阶被控对象的图像判定方法.

频率从零增加到正无穷大的过程中, 闭环系统特征函数的值集的形状可能会发生变化, 也就是会存在切换频率.在每个切换频率之间的频率段内, 文献[23]给出了值集顶点的计算方法.但是文献[23]没有给出切换频率的计算公式, 而是用作图的形式判定控制的可镇定性.因此本文针对含有一个分数阶项的区间分数阶被控对象, 研究切换频率存在性和计算方法.在每个频率段内, 给出相应的值集顶点的函数表达式.提出测试频率区间的计算公式, 以实现在有限频率段内测试值集与原点的位置关系.根据除零原理, 研究判定分数阶PI^λ控制器可镇定区间分数阶被控对象的解析方法.

图 3  F(w)的特征值分布

图 4  D(ω)变化曲线

图 8  扩大不确定区间后的F(w)的特征值分布

本文针对含有一个分数阶项的系数为区间不确定的分数阶被控对象, 提出了采用分数阶PI^λ控制器的闭环系统可镇定性判定准则.首先, 将闭环系统的特征函数分成扰动函数和标称函数, 在分析扰动函数对应的值集形状、发生切换的条件及切换频率ω₀是否存在的基础上, 进一步获得闭环系统特征值函数值集顶点的计算方法.为了实现能够在有限频率区间上测试值集与原点的位置关系, 提出了测试频率区间边界值的计算方法.在假设顶点函数在测试区间内不为零, 并且闭环系统的标称函数稳定的前提下, 提出了分数阶PI^λ控制器C(s)可以镇定含有一个分数阶项的区间分数阶被控对象P(s)的解析方法.文献[23]在每个频率点处需要重新计算闭环系统值集的顶点函数, 对应顶点较多的值集计算量会变大.和文献[23]相比, 在本文提出的切换区间内值集顶点函数是固定不变的, 不需要重新计算顶点函数的表达式, 可以有效地降低计算量.

作者简介

高哲

辽宁大学轻型产业学院电气工程及其自动化系副教授.2012年获得北京理工大学博士学位.主要研究方向为分数阶控制系统.E-mail:gaozhe83@gmail.com