引用本文

肖宇, 徐晓东, 阳春华. 一类具有复杂执行器动态的双曲线型偏微分方程输出调节. 自动化学报, 2024, 50(2): 295−307 doi: 10.16383/j.aas.c221007

Xiao Yu, Xu Xiao-Dong, Yang Chun-Hua. Output regulation for a class of hyperbolic PDEs with complex actuator dynamics. Acta Automatica Sinica, 2024, 50(2): 295−307 doi: 10.16383/j.aas.c221007

http://www.aas.net.cn/cn/article/doi/10.16383/j.aas.c221007

关键词

双曲线型偏微分方程，输出调节，执行器动态特性，非线性，反步法 

摘要

本文研究了一类具有边界执行器动态特性的双曲线型偏微分方程(Partial differential equation, PDE)系统的输出调节问题. 特别地, 执行器由一组非线性常微分方程(Ordinary differential equation, ODE)描述, 控制输入出现在执行器的一端而非直接作用在PDE系统上, 这使得控制任务变得相当困难. 基于几何设计方法和有限维与无限维反步法, 本文提出了显式表达的输出调节器, 实现了该类系统的扰动补偿及跟踪控制. 并且我们采用Lyapunov稳定性理论严格证明了闭环系统及跟踪误差在范数意义上的指数稳定性. 仿真实例对比验证了所提出控制方法的有效性.

文章导读

双曲线型偏微分方程 (Partial differential equation, PDE)广泛用于描述一类具有传输现象的物理系统, 例如: 热交换器[1], 油井钻探[2]和管状传输过程[3]等. 近些年, 这一类系统的输出调节问题已成为学术界及工业界的挑战. 基于几何设计方法和无限维反步法, 一些针对双曲线型PDE系统的输出调节理论成果已提出[4-10]. 文献[11]研究了2×2双曲线型PDE系统的有限时间输出调节问题. 然而, 上述输出调节工作只考虑PDE系统的直接边界控制. 换言之, 控制输入直接作用在PDE系统的边界点上而忽略了执行器动态特性的影响. 这往往不合理, 由于普遍存在于控制系统中的耦合现象, 例如: 电磁耦合[12]、传感器和设备之间的耦合[13]以及耦合的化学反应过程[14]等. 在控制系统中, 当执行器动态特性显著时, 忽略执行器的影响将导致控制性能直接下降. 由于动态执行器的存在, 现存的基于直接边界控制的输出调节策略[4-11]将无效, 考虑执行器动态特性的分布参数系统输出调节策略有待提出.

事实上, 对于具有执行器动态特性的PDE系统的稳定控制, 一些试探性的结果已经被提出. 具体地, 文献[15-17]允许低阶线性或非线性执行器动态特性在PDE系统边界点存在. 在文献[18-20]中, 执行器动态特性由线性可控高阶常微分方程 (Ordinary differential equation, ODE)主导. 文献[21]研究了具有高阶非线性执行器动态特性的抛物线型PDE系统的稳定控制. 进一步, 文献[22]采用神经网络首次解决了具有未知非线性执行器动态特性的双曲线型PDE系统的跟踪控制. 我们从上述工作注意到执行器动态特性通常由ODEs描述, 因此具有执行器动态特性的PDE系统事实上是耦合的PDE-ODE系统. 尽管文献[15-22]在控制器设计过程中充分考虑了执行器动态特性, 但这些工作并未考虑外界干扰的影响, 无法解决系统受扰动时的信号跟踪问题, 即输出调节问题.

本文考虑了一类由高阶非线性ODE执行器驱动的2×2双曲线型PDE系统输出调节问题, 所研究的系统由非线性ODEs串联PDE模型描述. 不同于文献[21-22]忽略了扰动影响, 本文研究的ODE执行器和PDE系统均受到外界的干扰, 控制策略需实现全局扰动估计和抑制, 这使得本文的工作更加困难且区别于现有的文献. 为解决高阶执行器动态特性给调节器设计带来的挑战和对控制性能产生的不利影响, 我们拓展了文献[11]的输出调节控制器设计框架, 将有限维反步法与非线性观测器设计方法引入并与无限维反步法和几何设计方法相结合, 分别设计了基于状态和输出反馈的调节器. 具体地, 状态反馈调节器包括前馈和反馈两部分, 首先通过构建并求解反步坐标下的调节方程获得前馈增益, 而后采用有限维反步法逐步获得反馈部分的显式表达. 对于输出反馈调节器, 本文分别设计了一个参考观测器和两个扰动观测器. 参考观测器观测参考信号的状态, 两个扰动观测器分别观测PDE系统和执行器所受到的扰动及实际状态. 设计输出反馈调节器的关键在于求取观测器增益使得参考及扰动观测误差能够稳定收敛, 为状态反馈调节器提供准确的系统状态. 本文主要贡献包括:

1) 扩展了现有的双曲线型PDE系统的直接边界输出调节工作[4-11], 所考虑的执行器动态特性由具有广泛代表性的高阶严格反馈形式非线性ODEs描述, 这使得控制器的设计变得更加实际但困难. 此外, 不同于文献[15-22]只研究系统的稳定或跟踪控制而未考虑外界干扰, 本文解决了更加复杂的输出调节问题.

2) 针对具有高阶执行器动态特性的2×2双曲线型PDE系统, 本文建立了一个新的输出调节控制器设计框架, 在有限维和无限维空间中充分利用几何设计方法使得跟踪误差及闭环系统在范数意义上指数稳定. 该框架同样适用于具有相似结构的耦合PDE-ODE系统的输出调节器设计.

本文其余部分组织如下: 第1节给出了所考虑的被控系统、虚拟外部系统及控制目标, 第2节给出了状态反馈调节器的设计过程, 第3节设计了参考及扰动观测器, 第4节分析了输出反馈控制下闭环系统的稳定性及跟踪误差收敛性, 第5节进行数值仿真对比验证了所提出控制方法的有效性和先进性, 第6节是总结性评述.

图 1  一类典型的流程工业多反应器串联系统信号流图

图 2  输出反馈闭环控制系统结构框图

图 12  控制器(79)轨迹

本文研究了具有复杂执行器动态特性的双曲线型偏微分方程的输出调节问题, 所提出的基于状态反馈和输出反馈的调节器实现了被控系统全局扰动估计以及被控输出跟踪误差指数收敛. 值得注意的是, PDE子系统可以被替换为其他类型的线性PDE系统例如扩散方程、波动方程等. 执行器动态特性可以由能够被反步法稳定且具有严格反馈形式的非线性系统描述. 未来的工作将考虑系统的不确定性以及研究相应的自适应输出调节策略.

作者简介

肖宇

中南大学自动化学院硕士研究生. 2021年获得中南大学学士学位. 主要研究方向为分布参数系统自适应控制与输出调节. E-mail: yu_xiao@csu.edu.cn

徐晓东

中南大学自动化学院教授. 2017年获得阿尔伯塔大学博士学位. 主要研究方向为无限维系统的鲁棒/最优控制和故障估计. 本文通信作者. E-mail: XiaodongXu@csu.edu.cn

阳春华

中南大学自动化学院教授. 2002年获得中南大学博士学位. 主要研究方向为复杂工业过程建模与优化控制, 智能自动化系统与装置. E-mail: ychh@csu.edu.cn