引用本文

庄波, 崔宝同, 楼旭阳, 陈娟. 基于反步法的耦合分数阶反应扩散系统边界输出反馈控制. 自动化学报, 2022, 48(11): 2729−2743 doi: 10.16383/j.aas.c190389

Zhuang Bo, Cui Bao-Tong, Lou Xu-Yang, Chen Juan. Backstepping-based output feedback boundary control for coupled fractional reaction-diffusion systems. Acta Automatica Sinica, 2022, 48(11): 2729−2743 doi: 10.16383/j.aas.c190389

http://www.aas.net.cn/cn/article/doi/10.16383/j.aas.c190389

关键词

分数阶偏微分方程，反应扩散系统，反步法，边界控制，输出反馈 

摘要

针对具有空间依赖耦合系数的分数阶反应扩散系统, 利用反步法设计了基于观测器的边界输出反馈控制器, 证明了观测增益和控制增益核函数矩阵方程的适定性. 针对误差系统和输出反馈的闭环系统, 利用分数阶Lyapunov方法分析了系统的Mittag-Leffler稳定性, 且利用Wirtinger不等式改进了耦合系统稳定的条件. 当系统具有空间依赖的耦合系数时, 难以求得控制增益和观测增益核函数的解析解, 为此, 给出了核函数偏微分方程的数值解方法. 数值仿真验证了理论结果.

文章导读

耦合分数阶反应扩散系统中包含多个反常扩散的系统分量, 各系统分量在扩散的同时发生反应并相互转化, 这种耦合性在反应扩散系统中是普遍存在的[1]. 与经典的高斯扩散不同, 反常扩散过程表现出幂率(Power law)和重尾(Heavy-tailed)分布的特征, 其见于多种物理场景中, 如连续时间随机游走[2]、通过多孔介质的扩散等[3], 并广泛应用于物理、生物、工程等许多领域[4-6]. 耦合分数阶反应扩散系统作为一种典型的分布参数系统, 在整个空间区域上进行测量和控制通常是很困难的. 实际上, 在很多复杂的应用场景中, 如高温、高腐蚀, 或涉及液体流动的应用, 受到经济或技术条件的限制, 通常在系统边界上进行测量和控制, 其成本更低且容易实现. 因此, 使用边界测量值设计输出反馈的边界控制器具有重要的理论意义和应用价值. 本文主要针对一类带有空间依赖耦合系数的分数阶反应扩散系统, 利用反步法研究其边界输出反馈控制问题(如图1所示).

图1 耦合系统的边界输出反馈控制

反步法(Backstepping)是一种稳定动态系统的特殊方法, 其主要思想是: 寻找合适的核函数构造可逆的反步变换, 将原系统映射到一个稳定的目标系统, 再导出使原系统稳定的控制器和相应的控制增益. 将反步法应用于偏微分方程(Partial differential equations, PDEs)边界控制问题, 已经取得许多重要成果[7-10]. 早在2003年, Liu[7]利用反步法研究了一类不稳定热方程的边界反馈镇定问题, 其中控制增益核函数是一个连续函数, 突破了此前基于离散化的方法. 随后, Smyshlyaev等[8]深入研究了一类抛物型偏积分微分方程的边界控制问题, 证明了核函数方程的适定性并给出了数值解和特定条件下的解析解. 在文献[9]中, 利用边界测量设计了指数收敛的观测器, 实现了输出反馈控制, 同时考虑了传感器与执行器并列和非并列的情况. 关于PDEs反步法的更多内容可参见文献[11-12].

近年来, 耦合PDEs反步边界控制成为新的研究热点[13-18]. Baccoli等[13]利用反步法解决了常系数耦合的反应扩散系统镇定问题, 针对扩散系数相同和相异两种情况分别设计了基于状态反馈的边界控制器, 并得到了核函数矩阵的级数解. Orlov等[16]系统地研究了常系数耦合反应扩散系统的状态反馈控制、观测器设计和输出反馈控制等一系列问题. Liu等[15]研究了基于观测器的常系数耦合反应扩散系统边界输出反馈控制, 并利用Poincaré不等式改进了文献[13]的结果. 针对耦合反应扩散方程的研究进一步推广到具有空间依赖参数的情形[17]以及输出调节问题[18].

最近几年, 分数阶反应扩散系统的边界控制问题引起了研究者的关注[19-28]. Ge等[19]应用PDEs反步法[8, 11]研究了具有Dirichlet和Neumann边界的分数阶反应扩散系统的边界控制问题, 证明了闭环系统的Mittag-Leffler稳定性[29-30]. 随后, 针对一类半线性时间分数阶扩散系统研究了Luenberger型观测器的设计[20], 然后又推广到系统参数随空间变化的情形[22]和事件触发控制[23]. Chen等[24]研究了带有混合或Robin边界条件的分数阶反应扩散系统的边界控制问题, 并推广到扩散系数随空间变化(各向异性)的情形[26], 然后又研究了观测器设计[25]和输出反馈控制[27]等问题. Zhou等[28]深入研究了一类不稳定的时间分数阶反应扩散方程的边界反馈镇定问题, 同时考虑了Dirichlet边界和Neumann边界控制, 采用Riesz基方法和分数阶Lyapunov方法[29]证明了闭环系统解的存在唯一性和Mittag-Leffler稳定性. 目前, 针对耦合分数阶扩散系统边界控制的研究还很少. Ge等[21]针对带有空间依赖参数的耦合半线性反常亚扩散(Subdiffusion)系统, 利用反步法设计了基于观测器的输出反馈控制器, 并证明了闭环系统的Mittag-Leffler稳定性. 在假设设计参数与核函数矩阵同为对角矩阵的条件下, 得到了核函数矩阵方程的解析解, 并推广了文献[13, 15-16]的结果. 然而, 一方面, 上述研究结果中设计参数的选择范围仍存在改进的空间; 另一方面, 为得到核函数的解析解, 需要假设核函数矩阵为对角阵或数量阵, 或者满足特定的不等式, 这在一定程度上增加了选择设计参数的难度. 同时, 当系统的耦合系数随空间变化时, 很难求得核函数矩阵方程的解析解[8]. 这些问题在一定程度上限制了该方法的应用.

鉴于以上考虑, 本文利用PDEs反步边界控制方法, 针对具有空间依赖耦合系数的分数阶反应扩散系统, 设计基于边界测量的观测器和输出反馈控制器, 实现边界测量、边界控制的输出反馈控制系统. 利用Wirtinger不等式[31]改进控制参数满足的条件, 扩大其取值范围. 针对包含空间依赖耦合系数的控制增益和观测增益核函数矩阵方程, 在分析解的适定性的基础上给出数值解法, 在无需假设核函数矩阵结构的条件下直接求解, 从而简化设计参数的选取方法. 最后, 利用数值仿真验证理论结果.

图2 开环和闭环系统的状态L2范数

图4 闭环系统状态各状态分量的演变

本文针对具有空间依赖耦合系数的时间分数阶反应扩散系统, 利用PDEs反步法提出了一种边界测量、边界控制的输出反馈控制器, 选择适当的设计参数, 可使闭环系统以一定的收敛速率Mittag-Leffler稳定. 首先, 基于边界测量输出设计了系统观测器, 选择适当的观测器参数, 可根据观测增益核函数矩阵PDE求得观测增益, 并且可保证观测器的状态估计以一定的速率收敛到系统真实状态. 然后, 进一步利用PDEs反步法提出了基于观测器的边界输出反馈控制器, 选择合适的控制器参数, 可根据控制增益核函数矩阵PDE求得控制增益, 且保证闭环系统以一定的速率Mittag-Leffler稳定到平衡点. 同时, 进一步扩大了观测器和控制器设计参数的选择范围.

本文分析了观测增益和控制增益核函数矩阵方程解的存在唯一性, 并且针对耦合系数为常数矩阵的情况, 在假设核函数矩阵为数量阵的条件下, 可以求得两个核函数的解析解. 但当耦合系数矩阵随空间变化时, 通常无法求得解析解. 为此, 本文给出了控制增益和观测增益核函数矩阵的数值解, 无需预先假设核函数矩阵的结构, 即可直接求得矩阵中n2个核函数, 使得设计参数矩阵的选择更加简便和灵活. 数值仿真验证了本文提出方法的有效性.

作者简介

庄波

江南大学物联网工程学院博士研究生. 2008年获得山东师范大学信息科学与工程学院硕士学位. 主要研究方向为分布参数系统控制. 本文通信作者.E-mail: bozhuang@jiangnan.edu.cn

崔宝同

江南大学物联网工程学院教授. 2003年获得华南理工大学自动化科学与工程学院博士学位. 主要研究方向为复杂系统控制理论与应用.E-mail: btcui@jiangnan.edu.cn

楼旭阳

江南大学物联网工程学院教授. 2009年获得江南大学控制理论与控制工程专业工学博士学位. 主要研究方向为网络化机电系统的优化与控制, 混杂系统的分析与控制.E-mail: louxy@jiangnan.edu.cn

陈娟

爱沙尼亚塔林理工大学博士后研究员. 2018年获得江南大学物联网工程学院工学博士学位. 主要研究方向为分数阶分布参数系统的边界控制和边界观测器设计.E-mail: karenchenjuan.student@sina.com