线性卷积在图像处理中发挥着重要作用, 但是在处理海量高分辨率图像时, 求解线性卷积会消耗许多计算资源. 为此, 本文就量子线性卷积及其在图像处理问题中的应用开展相关研究, 首先提出单通道, 单位步长, 零补充情况下的量子一维和二维线性卷积, 然后实现多通道, 非单位步长, 非零补充的情况, 最后将量子二维线性卷积应用于量子图像平滑, 量子图像锐化和量子图像边缘检测. 通过理论分析证明了量子线性卷积的空间复杂度O(logM)和时间复杂度O(log^2M)较经典线性卷积有指数级下降, 且基于Qiskit的仿真实验成功验证了量子线性卷积和量子图像处理算法的正确性和可行性.

线性卷积是科学工程上的重要工具, 在图像处理中发挥了重要作用, 例如基于均值滤波器和高斯滤波器实现图像平滑, 基于拉普拉斯算子实现图像锐化, 基于索伯梯度算子实现图像边缘检测, 使用基于对称式扩充卷积的残差网络进行图像去噪. 对于M×M图像和N×N滤波器, 其卷积操作的时间复杂度是O(M^2N^2). 虽然经典计算能求出线性卷积结果, 但是在处理海量高分辨率图像时, 求解线性卷积会消耗大量计算资源. 量子计算为解决该问题提供了一种新的解决方案.

量子力学的量子叠加和量子纠缠特性使得量子计算在处理某些特定问题上具有显著的速度优势, 例如大数因子分解算法(Shor算法), 数据库搜索算法(Grover算法), 线性方程求解算法(HHL算法), 粗糙集核属性求解算法, 映射量子模型, 孪生支持向量机和量子主成分分析. 目前关于量子线性卷积的研究集中在量子一维卷积(Quantum one-dimensional convolution, QOC)和量子二维卷积(Quantum two-dimensional convolution, QTC). Lomont证明, 如果使用振幅编码将两个一维序列制备成两个量子态, 那么在允许使用线性算子(酉算子和测量算子)和辅助量子比特的情况下, 基于量子力学不能计算它们的量子循环卷积|c⟩⊗|g⟩, 其中|c⟩表示卷积结果, |g⟩表示垃圾项. 闫茜茜等提出量子一维窄卷积, 首先使用振幅编码信息, 利用量子态张量积性质获取振幅的乘积, 接着使用置换矩阵实现振幅的置换, 然后使用哈达玛门(Hadamard, H)量子门进行加法计算, 最终获得量子态|c⟩⊗|0⟩+|g⟩⊗|0⟩^⊥, |c⟩是卷积结果.随后闫茜茜等又提出量子二维窄卷积, 其实现过程同量子一维窄卷积相似. 另外, 量子图像滤波和量子图像边缘检测等算法使用量子算术计算线性卷积. 虽然上面三种方案都可以实现量子线性卷积, 但各有不足. 闫茜茜等提出的量子一维和二维线性卷积方法不适用于求解量子线性宽卷积和量子线性等宽卷积, 量子图像滤波和量子图像边缘检测中的量子二维线性卷积算法需要消耗大量的量子比特资源.

本文研究内容包括量子线性卷积的实现和应用两方面. 首先提出单通道, 单位步长, 零补充情况的量子一维宽卷积(Quantum one-dimensional wide convolution, QOWC), 量子一维等宽卷积(Quantum one-dimensional equal-width convolution, QOEC), 量子一维窄卷积(Quantum one-dimensional narrow convolution, QONC), 量子二维宽卷积(Quantum two-dimensional wide convolution, QTWC), 量子二维等宽卷积(Quantum two-dimensional equal-width convolution, QTEC), 量子二维窄卷积(Quantum two-dimensional narrow convolution, QTNC). 然后实现多通道, 非单位步长, 非零补充情况的QOWC, 同样适用于QOEC, QONC, QTWC, QTEC, QTNC. 最后基于量子二维线性卷积实现量子图像平滑(Quantum image smoothing, QISM), 量子图像锐化(Quantum image sharpening, QISH)和量子图像边缘检测(Quantum image edge detection, QIED)算法, 并在Qiskit上进行仿真实验. 理论分析证明了在时间和资源消耗方面量子线性卷积相比于经典线性卷积呈指数下降.

本文后续部分组织结构如下. 第1节介绍线性卷积和量子计算的相关知识. 第2节实现QOWC, QOEC, QONC, QTWC, QTEC, QTNC. 第3节实现QTC在QISM, QISH和QIED上的应用. 第4节总结和展望. 附录A给出置换电路的优化方法. 附录B给出量子态制备方法.

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