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我的学术研究计划或理想是完成3篇论文,解决3个重大的科学基础理论问题,它们分别是:连续统假设的判定、实数理论的构造、量子力学的阐释。其研究的灵感都是我年青时在读书中产生的。现在完成的只是连续统假设方面的研究工作。我把这3项研究内容简述如下。
论文Ⅰ:关于连续统假设的否定性证明(已完成)
摘要:连续统假设CH在公理集合论ZFC下的不可判定性,导致了当代集合论研究的一个主流方向就是:在ZFC的基础上,人们努力去寻找新公理来判定CH,也就是去构造ZFC的一个标准模型来判定CH。但人们似乎没意识到:如果ZFC本身还存在问题,那它不可能存在一个可被接受的标准模型,上述研究方向就根本不成立。本文根据详细的文献考证,严格指出了幂集合公理和替换公理存在的问题,并对相关基本概念和公理重新给出了严格的逻辑定义,由此最终导出了连续统假设CH(包括广义连续统假设GCH)的一种否定结果:所有的阿列夫(超穷基数)都小于连续统的势。这也正是Cohen所猜测的一种结果。
论文Ⅱ:论实数的逻辑构造——集合论新公理化
论文Ⅱ是论文Ⅰ的深入。创建集合论的初衷就是为了弥补微积分的逻辑缺陷,使数学分析严谨化。现代数学可以说就是建立在集合论基础上的。在论文Ⅰ的基础上,我准备重新来建立一个集合论公理系统,我的目标也非常明确,就是要从中导出一种构造性的实数理论。现有的实数理论都是非构造性的。
我稍稍再深入地说明一下。这篇论文的核心在于:要从公理集合论中严格导出微积分,或从自然数出发来逐步构造实数。集合论是整个数学的基础,我自己的一个信念就是:在集合论的基础上,所有的数学分支最终都可以“融合”成一个数学体系。在论文Ⅰ中,我提出了一些“融合”的思想和方法,第一步,就是要让集合论、群论、维度理论(希尔伯特空间)、微积分这四个数学分支“融合”起来,亦即,要把群论和维度理论充分融摄到集合论新公理系统中来,从而导出一个严格的构造性的微积分或实数理论R。这就是论文Ⅱ的主要内容。
我的猜想是:理论R还可以进一步跟数论以及代数几何“融合”起来,这样就可以把经典数学统一起来了。我的这个想法或许可以称之为“扩大版的朗兰兹纲领”。而论文Ⅱ要解决的就是其基础的部分。在这个方向上可以做得非常深入,按照一些数学家的看法,黎曼猜想跟连续统假设之间也存在着内在的关联性。这就是一个未知的、能给人无限想象力的“数学宇宙”或“集合论宇宙”。
论文Ⅲ:论量子力学的概率解释——贝尔实验、双(单)缝实验的物理机制之谜
这算是我的一项“业余研究”。贝尔实验是关于量子纠缠的阐释问题,双(单)缝实验是关于量子叠加的阐释问题,这被称为“20世纪物理学的幽灵”、“量子力学的心脏”。我已经搞清楚了贝尔实验、双(单)缝实验的物理发生机制,下一步就是提出一个一般性的理论,将量子力学建立在严格的概率论基础之上。
在纯数学或基础科学理论的研究上,要搞出一些新东西,有时还真是一件负气绝志之事。陈寅恪有一句诗:“一生负气成今日,四海无人对夕阳。”我改了一下:“料得人生总意会,莫使负气对夕阳。”与君共勉。
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