导读

作为一个教师，我最近的一项教学活动，就是给同学们讲解一个著名的逻辑问题“蓝眼睛岛问题”。这个问题来自当代的天才数学家、菲尔兹奖获得者陶哲轩。在2018年8月16日和23日，我做了两期“科技袁人”视频节目来详细解读蓝眼睛岛问题（B站视频见https://www.bilibili.com/video/av29527174和https://www.bilibili.com/video/av30113899，文字版本见https://mp.weixin.qq.com/s/dWB7DY5aPsbdfhZ2ByiaNQ和https://mp.weixin.qq.com/s/ryMGPZtiUMR1vXI970dckA）。

陶哲轩

讲解的效果怎么样呢？我欣慰地看到，许多同学看明白了。有些同学不但自己完全理解了，而且还写了许多有深度的评论，帮助其他同学理解，例如B站的“莫荒鸡”同学。这样的学生，是最有前途的！

这是令人欣慰的。令人不那么欣慰的是，仍然有许多同学没看明白。最令我吃惊的是，许多人的疑惑，是我在视频中已经清清楚楚解读过的。例如我已经明确说了，如果没有游客，岛上的人不会自杀，但许多人仍然认为在游客来之前岛民就应该自杀。又如我已经明确说了，游客带来了新信息，但许多人仍然认为游客没有带来新信息。

我在评论区看到了很多长篇大论的谬论，把各种有可能犯的错误都犯了个遍。我不禁想问了：你们与其费这么大劲写这么多漏洞百出的东西，为什么不先好好看看视频？难道你们没发现，你们的问题老师在课堂上早就回答过了吗？

由此可见，许多人的问题是：阅读理解能力太差！这是个非常基本的缺陷，是最基础的学习能力、沟通能力的问题。有这种缺陷的同学们请注意了，如果不先改进阅读理解能力，那么你很难跟别人进行有效的交流。你即使很努力地想学习什么、思考什么，也很容易变成事倍功半，把自己和别人都累得半死，结果还是错误百出。

以上是说明阅读理解问题的重要性。从我这个角度而言，可做的就是换一种叙述方式，尽可能明晰地重新给同学们讲解一下蓝眼睛岛问题。

这个问题之所以很奇妙，是因为其中涉及到若干个层次的思考，不像一般的问题只涉及一个层次。许多同学在低层次上能想明白，但在高层次上就过不去坎儿了，被绕得七荤八素。如果我们明确地指出，蓝眼睛岛问题分为哪些层次，想必会对同学们大有帮助。

蓝眼人

第一个层次是：这个问题本身的答案是什么？回答是：游客说话之后n天，所有n个蓝眼人一起自杀。

第二个层次是：棕眼人会不会自杀？回答是：不会，因为他们不知道岛上眼睛颜色只有两种。

第三个层次是：如果没有游客，岛民们会不会自杀？回答是：不会，因为没有推理的起点。

第四个层次是：为什么我们要关心“游客有没有带来新信息”这个问题？回答是：只有新的信息才能造成新的结果，这是一个常识，但蓝眼睛岛问题似乎推翻了这个常识。我们希望搞清楚，错误的是这个常识，还是“游客没有带来新信息”这个印象。

第五个层次是：游客到底有没有带来新信息？回答是：确实有！新信息不是游客的话“岛上有蓝眼人”，而是一个n阶的知识。这是超越常规，令人吃惊的。

第六个层次是：为什么这个n阶的知识是一个新信息？回答是：因为在游客公布之前，通过互相观察，岛民们最多只能获得n - 1阶的知识。

第七个层次是：这个新信息是如何发挥作用的？回答是：新信息使岛民们有可能通过一个判决性的实验，来推出自己的眼睛颜色。这个判决性实验的做法，就是等待和观察。

第八个层次是：在逻辑学上，如何描述游客发言的效果？回答是：游客通过公布一个岛民早已知道的信息，把它从弱共识提升到了强共识。

第九个层次是：如何解答蓝眼睛岛问题的各种变体，例如游客在第二天有什么办法可以减少伤亡？回答是：如果你理解了前面这八个层次，那么你就能解答种种扩展问题。而如果你前边就在某个层次卡壳了，那么你当然就会被越绕越糊涂。

第十个层次是：在现实生活中，哪些现象可以用这些道理来理解？回答是：就是我在原文中举的那些例子，《皇帝的新装》、语言通讯模型和摩尔定律等等。请注意，许多人举暗恋和表白的例子，但这个例子是错误的！暗恋表白并不是把弱共识变成强共识，而是原本没有共识。不要忘记，弱共识也是共识哦。

一个蓝眼睛岛问题，能引出十个层次的思考，真是非常惊人。请仔细想想，你思考到了哪个层次？

你能达到的层次越高，说明你的思维越有深度。如果你完全理解了所有这十个层次，那么祝贺你，你的思维非常清晰，而且有创造性，我们希望你为人类做出更大的贡献。如果你卡在了某个层次，那么请仔细想想，自己缺乏的是什么，是什么阻止了自己做出深入的思考。

好，下面我们就以尽可能简单清晰的语言，依次解读蓝眼睛岛问题的这十个层次。首先，让我们回顾一下问题本身：

“在一个岛上，住着一个部落。这个部落由1000个人组成，这些人有多种眼睛颜色。他们有一种宗教信仰，禁止他们了解自己眼睛的颜色，甚至禁止他们讨论眼睛颜色这个话题。因此，每个居民都能看到所有其他居民的眼睛颜色，但却不能发现自己的眼睛颜色（这里没有镜子或者诸如此类的东西）。如果一个岛民知道了自己的眼睛颜色，那么他们的宗教就会强制他们第二天中午在村庄广场上自杀，让所有人都看到。所有的岛民都非常逻辑和非常虔诚，他们也都知道其他人也非常逻辑和非常虔诚。在这里，‘非常逻辑’的意思是，如果从岛民已知的信息和观察中可以推理出任何结论，那么岛民必定会知道这个结论。

实际上，在这1000个岛民中，100个人的眼睛是蓝色，900个人的眼睛是棕色。不过，岛民最初并不知道这些数据。因为，每个人只能看到除自己之外的999个人的眼睛颜色，看不到自己的眼睛颜色。

有一天，一个蓝眼睛的游客来到了岛上，并且获得了部落的完全信任。一天晚上，他向整个部落的人致辞，感谢他们的款待。

然而，由于不了解当地的风俗习惯，这位游客犯了一个错误，在他的讲话中提到了眼睛的颜色。他说了一句：‘真是有趣呀，在这里能看到像我这样的蓝眼睛的人！’请问，游客的失言对部落会不会产生影响？如果有，是什么影响？”

如何解决这个问题？最快速而且严格的方法是，用数学归纳法来证明下面这个定理：如果岛上有n个蓝眼人，那么在游客发言的n天后，所有这n个蓝眼人一起自杀。

大家都知道数学归纳法是什么吧？这是高中的数学知识。如果没学过的话，我来解释一下。如果一个与自然数n有关的命题f(n)满足以下两个条件，那么这个命题就对于所有的自然数都成立。这两个条件是：（1）对于n = 1的情况，f(1)成立；（2）对于任何一个自然数k，假如f(k)成立，就可以推出f(k+ 1)也成立。显然，根据这两个条件，从f(1)成立就可以推出f(2)成立，从f(2)成立就可以推出f(3)成立，如此等等。无限递推下去，结果就是对所有的自然数都成立。

好，我们来用数学归纳法证明蓝眼睛岛问题的上述定理：如果岛上有n个蓝眼人，那么在游客发言的n天后，所有这n个蓝眼人一起自杀。

对于n= 1的情况，也就是说岛上只有一个蓝眼人，他在听到游客说“岛上有蓝眼人”之后，四处一望没看到蓝眼，立刻推出游客说的蓝眼人就是他。于是，他会在游客发言之后一天自杀。

如果对于n= k的情况，这个命题是成立的，现在我们来考虑n = k + 1的情况。基于n= k情况下的命题，这k + 1个蓝眼人中的每一个，都会做这样的推理：我看到了k个蓝眼人，假如他们就是全部的蓝眼人，那么过k天之后，他们就会一起自杀。而假如他们没有在k天之后一起自杀，就说明蓝眼人不止k个，而唯一可能的其他蓝眼人就是我自己。于是他等待k天，然后看到没有人自杀。由此得出结论，自己是蓝眼人。每一个蓝眼人都做出了这个推理，都知道了自己是蓝眼。因此，k + 1天之后，所有这k + 1个蓝眼人一起自杀。也就是说，从这个命题在n = k时成立的假设，我们推出了它在n = k + 1时也成立。

这两点就满足了数学归纳法的条件。因此，这个命题对于任意的蓝眼人数都成立，我们证明了，它是一条定理。就原题目而论，答案就是在100天后，所有这100个蓝眼人都自杀。

Xkcd的蓝眼睛岛漫画

这个证明过程，你完全理解了吧？没有疑问了吧？好，完全理解了，我们就继续向下走。

搞清楚了第一个层次，现在我们来看第二个层次：棕眼人会不会自杀？

看一下岛民做的推理，你就可以发现，他们对自己的眼睛颜色只是在两种可能性中选择：蓝色，或者不是蓝色。如果一个人确认自己的眼睛不是蓝色，那么仍然可能是棕色，可能是红色，可能是黑色等等，因此他还是不知道自己眼睛的颜色，所以不会自杀。

在这个题目中，岛民们一开始是禁止谈论眼睛颜色的，因此他们不知道岛上的眼睛颜色只有两种。游客能看到岛民的眼睛颜色只有两种，但并没有告诉他们这一点。因此，那些非蓝眼的岛民没有任何线索知道自己的具体颜色，在蓝眼人自杀之后，他们不会自杀。

在评论区看到，有人推来推去得出结论，棕眼人会推出自己是蓝眼人而自杀。这得是多么不开窍才会得出这种结论啊！岛民进行的既然都是正确的推理，怎么可能推出违反事实的结论？这些同学们是不是认为，自己经常推出错误的结论，所以岛民也会这么做？拜托，请仔细审题，题目说的是，岛民都非常逻辑。能推出来的，他们一定会相信。推不出来的，他们一定不会相信的！

在以上这些分析中，我们不需要考虑棕眼人思维的任何细节，就可以得出基本结论。如果你还是提心吊胆，像我在分析“王师傅卖鞋收假钞”那道题（B站视频见https://www.bilibili.com/video/av26209225，文字版本见https://mp.weixin.qq.com/s/ceL5ZZq_pYCgd51PDgtC-g）时指出的那样，对自己把握整体结构的能力没有信心，一定要看到每一个细节，那么我们也很容易列出棕眼人的思考过程。

游客说话以后，棕眼人想：我看到n个蓝眼人，假如他们就是全部的蓝眼人，那么过n天之后，他们就会一起自杀。而假如他们没有在n天之后一起自杀，就说明蓝眼人不止n个，而唯一可能的其他蓝眼人就是我自己。于是他等待n天，结果看到这n个蓝眼人在n天后都自杀了。由此他得出结论：自杀的这n个人就是全部的蓝眼人，自己的眼睛不是蓝色。然后推理就结束了，因为没有进一步的线索知道自己的眼睛是棕色、红色还是黑色等等，这些非蓝眼的岛民继续活着。

还有一个常见的误解是，棕眼人也会自杀，因为他们也在怀疑自己是蓝眼人。拜托，请仔细审题！题目说的是，只有完全确定自己的眼睛颜色的人才会自杀。自杀是因为确定，而不是因为怀疑！岛民是不会单纯因为怀疑就自杀的！想歪到这条路线上的同学，大概是把现实生活的经验跟题目混为一谈了。现实生活中确实有许多人因为怀疑而自杀，但你不要脑补到题目中来啊！

搞清楚了第二个层次，现在我们来看第三个层次：如果没有游客，岛民们会不会自杀？

回答是：不会。

请仔细看前面数学归纳法的证明过程。数学归纳法需要两个条件。第一个条件是：对于n= 1的情况，f(1)成立。第二个条件是：对于任意一个自然数k，假如f(k)成立，就可以推出f(k + 1)也成立。对于现在这道题目，第二个条件无论有没有游客都成立，但第一个条件在没有游客的时候不成立，因此没有游客时就不能得出任何结论了。

为什么第一个条件在没有游客的时候不成立呢？这时你要考虑的，是岛上只有一个蓝眼人的情况。他向外望去，看到999个棕眼人，仅此而已。没有一个外在的信息源告诉他“岛上有蓝眼人”，因此他无法推出任何结论。

由此可见，游客的发言在这道题里是必不可少的，它提供了一个推理的起点。

在评论区里，经常看到有人认为在游客来之前蓝眼岛民就应该自杀。他们以为，这道题的推理过程告诉我们，只要岛民们都知道“岛上有蓝眼人”，蓝眼人最后就会自杀，而在游客来之前岛民们通过互相看就知道了“岛上有蓝眼人”，因此压根不需要游客，蓝眼人就会自杀了。错了！大错而特错！只有在蓝眼人多于一个的时候，才能通过互相看知道“岛上有蓝眼人”。但是在只有一个蓝眼人的最基础情况下，这个蓝眼人就无法知道“岛上有蓝眼人”。一个递归推理，第一步的基础没了，后面还能推出什么东西来呢？

搞清楚了第三个层次，现在我们来看第四个层次：为什么我们要关心“游客有没有带来新信息”这个问题？

回答是：只有新的信息才能造成新的结果，这是一个常识，但蓝眼睛岛问题似乎推翻了这个常识，因为一眼看不出游客带来了什么新信息。我们希望搞清楚，错误的是这个常识，还是“游客没有带来新信息”这个印象。

这里我们需要强调一下，只有新的信息才能造成新的结果，对于逻辑系统，这不但是一个常识，而且是一个真理。因此，合理的思维方向，应该是尽力寻找游客带来了什么新信息。这就好比在物理学中，能量守恒定律是一条深深扎根在人们头脑中的原理。每当有新的实验现象显得能量似乎不守恒的时候，物理学家们一定会想尽一切办法去寻找遗漏的能量，让能量守恒定律仍然成立，而不会不经过战斗就轻易地放弃能量守恒定律。

令我感到惊讶的是，许多人轻易地就放弃了“只有新的信息才能造成新的结果”这个常识，大谈特谈“游客没有带来新信息”。如果没有带来新信息，那么游客的作用是什么呢？他们发明了种种说法，例如游客带来一个记数的起点，游客提醒大家思考眼睛的颜色，游客给大家的思考时间做了同步等等。

这些说法可能对也可能不对，我在这里顾不上一一辨析。但真正重要的是，这些说法都是事后的描述，而不是事前的解释。你是先理解了第一个层次的结论，然后把游客的作用比喻成各种东西，这些话说得再漂亮也只是比喻而已。对于当前这第四个层次的问题，即“游客有没有给出新信息”，你还是在回避问题，甚至直接就给出了错误的答案。

搞清楚了第四个层次，现在我们来看第五个层次：游客到底有没有带来新信息？

回答是：确实有！请注意，这里是蓝眼睛岛问题真正的困难所在，难度比第一个层次的数学归纳法推理高得多。许多人能够理解第一个层次，还能滔滔不绝地写一大段形象的描述来解释蓝眼人的思维过程，但在这第五个层次上却错误百出，死活理解不了游客带来的新信息。

在这里我必须要敲一下黑板，提醒同学们注意我说的每一句话。一定要原原本本地理解我说的每一个要点，直接面对智力的挑战，你才能翻越这座山峰。如果你自行脑补，自动忽略了我讲的某些要点，按照在你看来最容易的方式去理解，那么你必然会在无数种可能的错误之中打转，永远也搞不清这个问题的精妙之处。

我们先来描述答案：游客带来的新信息，是一个n阶的知识。如果把n个蓝眼人称为A₁、A₂、A₃……一直到A_n，那么游客给A_-1带来的新信息就是下面这个命题：

A₁知道，A₂知道，A₃知道，……，A_n-1知道，A_n知道，“岛上有蓝眼人”。

这个命题虽然很长，但它确实是一个命题。跟一般命题不一样的是，这个命题中出现了“知道”这个词，而且出现了n次。因此，我们把它称为一个n阶的知识（knowledge）。一个命题中出现了多少次“知道”，我们就把它叫做多少阶的知识。

下面，我们把“岛上有蓝眼人”这个命题记为P。“A_n知道P”是一个一阶的知识，我们把这个命题记为K₁。“A_n-1知道K₁”是一个二阶的知识，我们把这个命题记为K₂。如此等等。最后，游客带来的新信息“A₁知道K_n-1”是一个n阶的知识，我们把这个命题记为K-_n。

为什么K-_n是一个新信息？这就是第六个层次的问题了。

我们可以证明：在游客发言之前，岛民们通过互相观察，最多只能知道n - 1阶的知识，不能知道n阶的知识。

为什么呢？因为每个人都不知道自己眼睛的颜色，他在推测别人怎么想的时候，只能考虑别人之间的互相观察，不能考虑别人观察自己的结果。这就意味着，每多一重“知道”，知识每升高一阶，作为知识来源的人数就减少一。

例如对于K-₁，即“A_n知道P”，我们说过了，P是“岛上有蓝眼人”这个命题，A_n可以通过观察其他n- 1个蓝眼人中的任何一个来推出P。他只需要扣除自己就行，这个知识的来源有n- 1个人。对于K₂，即“A_n-1知道K₁”，A_n-1就需要扣除自己和A_n，这个知识的来源只剩下n - 2个人。以此类推，对于K_n-1，即“A₂知道K_n-2”，A₂就需要扣除从自己到A_n的所有人，即扣除n - 1个人。这个知识的来源只剩下了一个人，就是A₁。

那么对于K_n呢？所有的n个人都被扣除了，都不能作为这个知识的来源。但一个知识至少要有一个来源，因此K_n根本就不是个知识，这是个假命题。由此可见，通过互相观察，是无法得到K_n的，最多只能得到K_n-1。

那么，在游客发言之后，为什么就能得到K_n了？因为这时游客成了一个公开的信息来源，每个岛民都可以从他这里知道P，不再需要通过互相观察推来推去了。而且每个岛民都知道，其他人都从游客那里知道了P。因此，岛民们不但是一下子知道了K_n，而且还一下子知道了K_n+1、K_n+2，以至于任意高阶的知识。不过岛上只有n个蓝眼人，如果知识高于n阶，里面出现的人就必定有重复的，好比“A₁知道A₁知道某某事”。这就没有太大意思了，而且带来了额外的复杂性，对当前的问题没有帮助。因此，我们只关注K_n这个新信息就足够了。

现在我们可以确认，游客确实带来了新信息。大家都听明白了吧？

评论区里有很多人说，想来想去还是觉得游客没有带来新信息，因为岛民早就知道“岛上有蓝眼人”了。拜托，请仔细看我的视频！我一上来就明确地告诉大家了，新信息不是“岛上有蓝眼人”，而是那个n阶的知识！为什么你们不能好好地听别人说什么，而非要自己脑补一通，做一大堆错误的推理，白白把自己搞得晕头转向呢？孔子早就说过：“学而不思则罔，思而不学则殆。”如果你们学不会认真听别人说话，那么你们以后犯错的地方还多着呢！

学而不思则罔，思而不学则殆

游客确实带来了新信息，这是一个好消息，因为我们维护了“只有新信息才能造成新结果”这个常识，解决了一个对常识的挑战。解决这个挑战的办法是向前走，把游客带来的新信息明确地指出来，而不是兜圈子，用“游客让大家开始思考”、“游客给大家对时”之类的话来搪塞，回避问题。至于有些人说“游客没有带来新信息”，轻易地就放弃了常识，那更是错得没边了。

搞清楚了第六个层次，现在我们来看第七个层次：K_n这个新信息是如何发挥作用的？

回答是：这个新信息立刻使岛民们认识到，他们有可能通过等待和观察，来推出自己的眼睛颜色。用物理学的语言说，他们可以做一个判决性的实验了。这个判决性实验的做法，就是等待和观察。

判决性实验，在科学中是一个非常重要的概念。例如爱因斯坦预测光线经过太阳附近时会偏折，这就是一个判决性的实验，是广义相对论获得公认的一个关键证据。在蓝眼睛岛问题中，游客发言之前，岛民是没有判决性实验可做的。游客发言之后，岛民就有了一个判决性实验。

在这里，一点有趣的是，岛民的判决性实验并不是立刻就能做的，而是需要等待一段时间。同样用上面的那个类比，爱因斯坦建议的光线偏折实验也不是立刻就能做的，而是要等到日全食的时候，否则远方恒星的光会被太阳发出的光淹没。因此，岛民们意识到判决性实验的存在，这件事是立刻就发生了，但这个实验的后果，却不是立刻就显现出来的。

1919年5月29日日全食时爱丁顿等人验证广义相对论的光线偏折观测

我们需要强调一下，K_n这个新信息是在游客发言之后立刻就获得了。评论区里有不少人认为，游客刚发言的时候没有新信息，只是在看着时间一天一天过去而没有人自杀的时候，才得到了新信息。我们必须指出，这种看法是错的！虽然这么想的人已经做了很多思考，但结果还是错的！

搞清楚了第七个层次，现在我们来看第八个层次：在逻辑学上，如何描述游客发言的效果？

回答是：游客通过公布一个岛民早已知道的信息，把它从弱共识提升到了强共识。这个操作产生的新信息并不是公布的信息本身，而是一个n阶的知识。强弱共识的说法，在本质上跟n阶知识的说法是等价的，不过用起来方便得多，所以后面我们都来用它。

在这里我们需要强调，强共识的定义是，如果一个信息所有人都知道，而且所有人都知道所有人都知道，所有人都知道所有人都知道所有人都知道，……如此等等，以至于无穷，那么这个信息是一个强共识。这里的要点在于，“以至于无穷”。

在评论区有不少人说，游客发言之前，“岛上有蓝眼人”就是强共识，因为不但所有人都知道这一点，而且所有人都知道所有人知道这一点。拜托，请仔细看定义！你只是证明了，“所有人都知道”在这里可以重复有限次，但定义要求的是重复无限次！

在第六个层次的讨论中，我们其实已经证明了，在游客发言之前，“所有人都知道”最多只能重复n- 1次。只要不能重复无限次，它就只是一个弱共识，而不是强共识。

搞清楚了第八个层次，现在我们来看第九个层次：如何回答蓝眼睛岛问题的各种变体？例如陶哲轩问的，如果游客在第二天意识到了自己的失言，有什么办法可以减少伤亡？而如果游客是在更多天以后才意识到自己的失言，又有什么办法可以减少伤亡？

回答是：如果你理解了前面的八个层次，你自然就能解答这些扩展问题。如果你前边就在某个层次卡壳了，那么你当然就更加如坠云里雾里。

对于这些问题的回答，我已经在8月23日的视频（https://www.bilibili.com/video/av30113899）中给出了。基本的回答就是：如果游客发言之后已经过了m天，那么游客就需要指出m个人是蓝眼，或者带走m个蓝眼人，才能阻止蓝眼人全体自杀。具体的讨论，可以去看那期视频。

最后，我们来看第十个层次：在现实生活中，哪些现象可以用这些道理来理解？

回答是：就是我在8月23日的视频（https://www.bilibili.com/video/av30113899）中举的那些例子，《皇帝的新装》、语言通讯模型和摩尔定律等等。有兴趣的观众请去看那期视频，这里不再重复。

皇帝的新装

这里有一点特别值得指出的是，经常有人用暗恋和表白作为弱共识和强共识的例子。但你如果仔细思考一下，就会发现，这个例子是错误的。请问，在双方都暗恋对方的时候，有什么共识？真正的回答是没有共识。因此，表白的作用并不是把弱共识变成强共识，而是把没有共识变成有共识。这是一个平凡的例子，而蓝眼睛岛问题是一个高度非平凡的例子。如果你看不出两者的区别，说明你还没有理解蓝眼睛岛问题的精妙之处。

暗恋

许多人犯这个错误，是因为把弱共识跟无共识混为一谈了。请注意，弱共识已经是共识了！不要拿豆包不当干粮，不要拿弱共识不当共识！

到这里，我们终于解读完了蓝眼睛岛问题的所有十个层次。这确实是一个非常有启发性的问题，能够引出这么多层次的思考，怪不得陶哲轩一再地向大家推荐。

原文发布在【风云之声】公众号 2018年9月10号