数学是有力的,因为它能给出最精确、最严格的解答;数学是优美的,因为它能化繁为简,给人以精神的愉悦。追求力量和简洁是数学的创新之源,也是深藏于人性中的一种欲望。倘若能对数学重要概念的思想及其力量进行剖析,或许是点燃人们对力量、对简洁、对美追求的最好方式,或许也是中学素质教育或大学通识教育的一种很好的方式。本书试图进行这样的尝试。

   目前专业数学书由于重系统、重严格、重知识本身,往往需要很多准备才能进入问题的核心,才能对现代数学思想有所感悟,非专业数学人士,没有这么多时间去熬、去耗、去磨;另一方面,大多数学科普读物,往往较少、较浅地进入问题的内在理路,很少进入关键问题的证明,多在外围观察,也就很难让人享受其中之妙。因为没有证明,就不可能有真正的理解,当然就更谈不上享受。

   为了能聚焦于剖析数学思想及其力量,本书尝试采用一种新的叙述方式来通俗地讲数学。这种叙述方式就是:从核心问题出发,尝试从探究理论何以发明的视角,阐述核心概念产生的缘由及其力量,以及问题的解决过程。舍弃知识的系统、严格、完备,追求问题解决的连贯、彻底、通透,以便在较少的时间内能真正领悟数学背后的思想及其力量。

   20世纪伟大的数学家外尔曾说:“伽罗瓦的群论在好几十年中一直被视为天书;但是,它后来对数学的整个发展产生越来越深远的影响。如果从它所包含思想之新奇和意义之深远来判断,也许是整个人类知识宝库中价值最为重大的一件珍品”。本书以伽罗瓦群论为例,尝试从群论的发明过程和应用的角度,用通俗的语言,舍弃系统性和严格性,直述群论核心;另一方面,尝试阐发群论与微积分、复数,乃至诗歌、绘画等艺术创造背后精神的一脉相承,以便让人站在更高的山峰,领略人性的光辉。

   群论是高度抽象的。抽象过程实际上就是:去掉我们熟悉事物的次要部分,留下主要部分。这样做导致两个效果:正面效果是聚集了我们的精神,便于看清事物的机理;反面效果是把我们熟悉的事物变得不熟悉了,这就是抽象概念和运算难懂的原因。群论中抽象的概念和运算构成了群论内在的理路,它们虽然不多,但是要真正理解群论思想,还是需要有点耐心,反复阅读,熟悉它们。这是绕不开的。本书阐述、分析了这些概念和运算的抽象过程,建立了群论中一系列我们不熟悉的抽象概念与我们熟悉的方程求解过程的联系,以便更易于理解。为了让读者能阅读下去,真正领会群论的美,我们在书中穿插了若干诗、几幅画,供赏阅。

   笔者非数学专业,对群论的理解深度自知是不够的,甚至有错,望谅解。只盼本书的观察角度和叙述方式能让非数学专业人士在较少时间里较多地理解群论的精髓。

   由于本书的叙述方法,一些重要概念散布在叙述中,因此,为了查询方便,特将重要概念整理出来附在书的最后。

        盛新庆