等幂和问题是数论中的一个著名的经典问题，区块链技术是金融业的底层技术革命。本文提出基于等幂和问题的素数解的一种新的加密数字货币，驱动区块链技术的创新。

一、等幂和问题简介

数论中的等幂和问题（Equal Sums of like Powers），即寻求以下不定方程组的整数解：

a₁^k+ a₂^k+ ... + a_m^k = b₁^k+ b₂^k+ ... + b_m^k      ( k= k₁, k₂, ..., k_n )

例如以下是 k = 1, 3, 5, 7, 9 时的一组解：

7¹+ 91¹ + 173¹ + 269¹ + 289¹ + 323¹= 29¹ + 59¹ + 193¹ + 247¹ + 311¹+ 313¹

7³+ 91³ + 173³ + 269³ + 289³ + 323³= 29³ + 59³ + 193³ + 247³ + 311³+ 313³

7⁵+ 91⁵ + 173⁵ + 269⁵ + 289⁵ + 323⁵= 29⁵ + 59⁵ + 193⁵ + 247⁵ + 311⁵+ 313⁵

7⁷+ 91⁷ + 173⁷ + 269⁷ + 289⁷ + 323⁷= 29⁷ + 59⁷ + 193⁷ + 247⁷ + 311⁷+ 313⁷

7⁹+ 91⁹ + 173⁹ + 269⁹ + 289⁹ + 323⁹= 29⁹ + 59⁹ + 193⁹ + 247⁹ + 311⁹+ 313⁹

更多的例子请见我的等幂和专题网站：http://eslpower.org 及 http://eslpower.org/eslp.html

等幂和问题中，当k为自然数序列，即k = 1, 2, ..., n 时，就是经典的Prouhet-Tarry-Escott问题(以下简称PTE等幂和问题)：寻求两组不同的整数{ a₁, a₂, ... , a_m }和{ b₁, b₂, ... , b_m }同时满足

a₁^k+ a₂^k+ ... + a_m^k = b₁^k+ b₂^k+ ... + b_m^k      ( k = 1, 2, ..., n )

可以证明，当 m = n 时，PTE等幂和问题没有整数解，所以 m = n + 1 时，两组整数的数目达到最小，此时称为理想解（Idea Solution）。例如：

1¹ + 19¹ + 20¹ + 51¹ + 57¹ + 80¹+ 82¹ = 2¹ + 12¹ + 31¹ + 40¹ + 69¹ + 71¹ + 85¹

1² + 19² + 20² + 51² + 57² + 80²+ 82² = 2² + 12² + 31² + 40² + 69² + 71² + 85²

1³ + 19³ + 20³ + 51³ + 57³ + 80³+ 82³ = 2³ + 12³ + 31³ + 40³ + 69³ + 71³ + 85³

1⁴ + 19⁴ + 20⁴ + 51⁴ + 57⁴ + 80⁴+ 82⁴ = 2⁴ + 12⁴ + 31⁴ + 40⁴ + 69⁴ + 71⁴ + 85⁴

1⁵ + 19⁵ + 20⁵ + 51⁵ + 57⁵ + 80⁵+ 82⁵ = 2⁵ + 12⁵ + 31⁵ + 40⁵ + 69⁵ + 71⁵ + 85⁵

1⁶ + 19⁶ + 20⁶ + 51⁶ + 57⁶ + 80⁶+ 82⁶ = 2⁶ + 12⁶ + 31⁶ + 40⁶ + 69⁶ + 71⁶ + 85⁶

这是6次方PTE等幂和问题的一组理想解，左右每组整数各有6+1=7个。上面这6个等式，可简记为：

[ 1, 19, 20, 51, 57, 80, 82 ] ₆= [ 2, 12, 31, 40, 69, 71, 85 ] ₆

PTE等幂和问题的解有很多奇妙的特性，例如左右每组的整数加上相同的一个数后，依然成立：

[ 2, 20, 21, 52, 58, 81, 83 ]₆ = [ 3, 13, 32, 41, 70, 72, 86 ]₆

[ 3, 21, 22, 53, 59, 82, 84 ]₆ = [ 4, 14, 33, 42, 71, 73, 87 ]₆

[ 4, 22, 23, 54, 60, 83, 85 ]₆ = [ 5, 15, 34, 43, 72, 74, 88 ]₆

二、等幂和问题研究综述

PTE等幂和问题作为等幂和问题的最经典情形，其研究最早可追溯至1750-1751年，数学家欧拉和哥德巴赫注意到2次方的情形；1851年Prouhet证明只要数组足够大(m >= n^k )，任意k次方都有整数解；1910年代Tarry和Escott等找到了7次方以下的部分解法；因此这个问题以他们三人的名字命名。例如以下1至7次方之和均相等的7次方理想解，是Tarry于1913年发现的，最大整数只有50：

[ 0, 4, 9, 23, 27, 41, 46, 50 ] ₇ = [ 1, 2, 11, 20, 30, 39 , 48, 49 ] ₇

1940年代德国人Letac在没有电子计算机辅助的情况下，找到了8次方的两组理想解和9次方的一组理想解，其中9次方的那组解（1至9次方之和均等），最大的整数是47500：

[ 0, 3083, 3301, 11893, 23314,24186, 35607, 44199, 44417, 47500 ] ₉

= [ 12, 2865, 3519, 11869, 23738,23762, 35631, 43981, 44635, 47488 ] ₉

华罗庚自1937-1938年在英国剑桥开始研究PTE等幂和问题直至1950年代，他用初等数论和解析数论的方法，对解的存在范围给出了比Prouhet大大优化的结果，详细请见华罗庚的著作《堆垒素数论》和《数论导引》；其后陈景润于1956年发表《塔内问题》一文（塔内即Tarry），对华罗庚《堆垒素数论》的结果给出改进，因而被华罗庚重视，次年调入中科院数学所。

1940年代Letac找到9次方的理想解之后的50多年中，在更高次方的求解上，国际上没任何进展，直至1999年9月，我无意看到欧洲人Nuutti Kuosa研究另外一个问题的结果：

151¹⁰ + 140¹⁰ + 127¹⁰ + 86¹⁰ + 61¹⁰ + 22¹⁰ = 148¹⁰ + 146¹⁰ + 121¹⁰ + 94¹⁰ + 47¹⁰ + 35¹⁰

在此基础上经过数学转换，我在全世界范围内首次找到了11次方的一组数值解：

[ 0, 11, 24, 65, 90, 129, 173,212, 237, 278, 291, 302 ] ₁₁

= [ 3, 5, 30, 57, 104, 116, 186,198, 245, 272, 297, 299 ] ₁₁

这两组整数，左右各12个，左右两边1次至11次方之和均相等，最大整数仅为302。这是PTE等幂和问题的一次重大突破，当年的《美国数学月刊》专门给予了报道。这一结果也被数十篇研究论文所引用，通常被称为Chen solution或Kuosa-Meyrignac-Chen Solution。

此后，2007年英国数学家Broadhurst借用了1500多年前《孙子算经》的“中国剩余定理”的思想，找到了11次方的第二组解，其论文的题目就叫“AChinese PTE Solution”；2008年印度人Choudhry和挪威人Wroblewski共同找到了11次方的部分公式解。

但是，对于10次方PTE等幂和问题，至今仍然没有进展。2002年加拿大数学家Borwein等三人在加拿大国家自然科学基金的资助下，用100多台电脑搜索至2000范围；2001年我用单台电脑搜索至2000范围；2014年我优化算法后用单台电脑搜索至10000范围；2016年我进一步改进算法后用5台服务器搜索至50000范围，但均未找到解。我在2000年时，找到以下最接近的结果：

[ 0, 17,27, 75, 116, 158, 176, 191, 258, 285, 317, 318 ] ₁₀

= [ 5, 6,38, 65, 132, 147, 165, 207, 248, 296, 306, 323 ] ₁₀

但两组数各为12个，不是10次方的理想解（应为各11个数）。

三、我在等幂和问题上的创新研究

我自1985年读高中一年级第一次接触等幂和问题开始，便有了一种犹如与生俱来的热爱，此后31年来一直难以割舍。在我看来，这是数论乃至整个数学领域中最完美和谐最不可思议的谜题。我始终相信，如此美丽的数学关系一定蕴含着更深刻的自然规律。

31年来，我在等幂和问题上的创新研究主要包括：

1）1995年开始，我在国际上首次系统地把PTE等幂和问题

a₁^k + a₂^k+ ... + a_m^k = b₁^k + b₂^k+ ... + b_m^k     ( k = 1, 2, 3, ..., n )

推广为更一般的等幂和问题

a₁^k + a₂^k+ ... + a_m^k = b₁^k+ b₂^k+ ... + b_m^k     ( k = k₁, k₂, ..., k_n)

我重点研究在 m=n+1 时的理想非负整数解（即a_i和b_i只可以为0或正整数）。当所有k均大于0时，至今有39种(k = k₁, k₂, ..., k_n) 类型找到理想非负整数解，其中16种是我首先找到解的。

2）1997年开始，我在国际上首次系统地研究等幂和问题在m=n时的理想整数解（即a_i和b_i可以为负整数、0、正整数）。

3）1997年开始，在对等幂和问题的研究中，我独创性地发现了大量带有共性的数学规律，从而找到了在一定的范围内用计算机搜索全部解的高效算法，而且可以适用于任何一种(k = k₁, k₂, ..., k_n) 类型。

4）2001年开始，在郭先强的启发下，我在国际上首次系统地把等幂和问题推广至幂指数为整数（即k可以为负整数、0、正整数）的更普遍情形，从而使等幂和问题找到理想非负整数解的类型达到107种，找到理想整数解的类型达到43种。这种推广更真实地反映了等幂和数组存在的普遍性，也进一步验证了3）所述的带有共性的数学规律。

5）2009年开始，我把等幂和数组引入到本公司的软件加密技术中。基本做法是，选取若干等幂和数组（每组都可以演变出无数组新的等幂和数组），等号左边的数存入软件，等号右边的数存入硬件。这是国际上把等幂和问题的研究成果引入实际应用的先例。

6）2016年国庆前后，我在国际上首次系统地把等幂和问题的求解由整数约束至素数，并归纳出已经找到素数解的19种类型，其中的9种类型属于PTE等幂和问题。例如以下这组6次方PTE等幂和问题的素数解：

[ 83, 191, 197, 383, 419, 557,569 ] ₆ = [ 89, 149, 263, 317, 491, 503, 587 ] ₆

7）1997年6月，我首次发布了自己的等幂和问题研究网站，对200多年来等幂和问题的研究结果进行全面的归类总结，包括了我大量的研究结果。至今为止，该网站是等幂和问题研究领域最全面的网上资料库，其网址已被几十篇正式学术论文和学术专著引用为参考文献。网站地址：eslpower.org （备份网站 euler.free.fr/eslp）

至今为止，我只在自己的研究网站上公布数值解，未发表过研究方法。我期待保持目前的研究优势，在不久的将来，在10次、12次和13次的PTE等幂和问题上取得突破。

四、PTE等幂和问题的素数解

在我的等幂和问题研究结果中，我认为最有意义最不可思议的，是发现了PTE等幂和问题的素数解。

2016年9月下旬，我带着碰碰运气的心态，对200多组( k = 1, 3, 5, 7 )类型的等幂和数组进行检测，发现有3组的解全部是素数的。如：

19¹+ 101¹ + 157¹ + 239¹ + 251¹ = 31¹+ 79¹ + 173¹ + 227¹ + 257¹

19³+ 101³ + 157³ + 239³ + 251³ = 31³+ 79³ + 173³ + 227³ + 257³

19⁵+ 101⁵ + 157⁵ + 239⁵ + 251⁵ = 31⁵+ 79⁵ + 173⁵ + 227⁵ + 257⁵

19⁷+ 101⁷ + 157⁷ + 239⁷ + 251⁷ = 31⁷+ 79⁷ + 173⁷ + 227⁷ + 257⁷

其后，我很快找到了多种类型的等幂和问题的素数解（理想素数解），包括7次方以下的PTE等幂和的素数解，但对于8次方和9次方PTE等幂和的素数解，始终无法找到。当时，我开始怀疑，PTE等幂和的素数解带有偶然性，8次方以上很可能找不到解。

9月底，我跟随北京大学汇丰商学院EMBA班到美国的耶鲁大学和哈佛大学研修，我们白天学习商业和金融的课程，夜晚倒时差，我每天午夜开始继续PTE等幂和的素数解的研究。经过连续一个星期的凌晨时段的努力，我发现了素数解更本质的规律，并且不断优化了算法，终于在结束哈佛商学院的课程之前，我找到了8次方和9次方PTE等幂和的各一组素数解，都是在1亿范围内唯一的一组。

例如以下9次方PTE等幂和的素数解：

2589701^k + 2972741^k + 6579701^k + 9388661^k + 9420581^k

+ 15740741^k + 15772661^k + 18581621^k + 22188581^k + 22571621^k

= 2749301^k + 2781221^k + 6835061^k + 8399141^k + 10314341^k

+ 14846981^k + 16762181^k + 18326261^k + 22380101^k + 22412021^k

( k = 1, 2, 3,4, 5, 6, 7, 8, 9 )

经过赴美研修这段期间的研究，我领悟到PTE等幂和的素数解其实是和特定间距的多生素数有关，可看作是孪生素数问题的推广。虽然未能得到证明，但我开始相信，任意次方的PTE等幂和都应存在素数解。

对于PTE等幂和的素数解的普遍存在性，其令我深感不可思议的程度，不亚于31年前我第一次知道PTE等幂和这个问题时的震撼。等幂和问题这种令人惊艳的极致数学美，以及精妙绝伦的共同规律性，激发着我继续探求其本质的奥秘。

更令我惊讶不已的事情是，在我写这篇文章的时候，我重新翻阅了华罗庚的几篇论文，无意中发现，1938年华罗庚在《关于Tarry问题》一文最后的附注种指出：其关于PTE等幂和的整数解存在范围的结论，同样适用于素数解。

也就是说，七十八年前，华罗庚已经证明了PTE等幂和的素数解的存在性，七十八年后，我把9次方以内的素数解找了出来。

五、区块链技术与加密数字货币

10月份我跟随北大汇丰EMBA班在哈佛商学院的最后一堂课，教授讲金融创新，我第一次对比特币有了初步认识。课堂上，我注意到比特币的挖矿过程，和等幂和求解有些相似，对于比特币在技术上的一些争议和缺陷，我感觉到等幂和的算法似乎正好是一种有效的解决之道。

回国后，我开始关注作为比特币底层技术的区块链技术。翻看了六本关于区块链的新书，包括肖风作序的三本，其中最引起我强烈兴趣的是《区块链：技术驱动金融》，但这本书原版的英文名是《BITCOINAND CRYPTOCURRENCY》（比特币与加密数字货币）。该书是一本关于比特币和区块链技术的专业著作，起源于业内所熟知的比特币和加密货币技术的普林斯顿网络公开课，作者是普林斯顿大学计算机系副教授ArvindNarayanan为首的五位专家。

书中肯定了比特币在开发虚拟货币系统上令人瞩目的成功，尤其是比特币许多优秀的创新，例如区块链和去中心化实现用户之间直接交易的模式等。书中指出，比特币在技术上是有深度、创新的、有趣的，而且是建立在正确理论上的。人类开始开拓比特币之外的另类加密货币，将来甚至可能超越比特币。书中对莱特币等其他加密货币进行了讨论。    

书中特别引起我关注的是第八章《其他挖矿算法》，该章指出：

1）比特币系统的核心是挖矿算法，而可以调整的难度、快速验证和无关过程属性，是比特币挖矿解谜的三大核心特征；

2）为改善比特币的挖矿解谜设计甚至是重新设计一套新的解谜过程，一个经典的设计挑战是让解谜过程能够限制ASIC挖矿；

3）有效工作量。比特币挖矿要消耗几十万千瓦的电能，目前的解谜运算对社会没有有益贡献，是一个资源的浪费。

第八章继续讨论了适合志愿者运算项目的解谜算法，仅有互联网梅森素数搜索GIMPS项目，具备可用性，但是梅森素数的搜索进度太慢，18年才找到14个，缺乏可调节的难度特征。但该章认为：无论如何，类似寻找素数这样的解谜算法，是可行的。

接着，第八章讨论了素数币（Primecoin，书中称质数币），这是到2015年为止，唯一在实际中被应用的被证明有效工作的系统。素数币的主要挑战是寻找素数的坎宁安链（Cunningham chain），即寻找素数序列P₁, P₂, …, P_n，以使得P_k=2P_k-1+1。书中也指出：坎宁安链是否有应用场景，尚有争议，目前尚没有实际应用。

近日，一篇题为《区块链核心技术演进之路—算法演进》的文章出现在国内互联网上，该文对素数币的论述同样是：比特币的解谜耗费能源这一事实，备受指责。若能找到一种既能维护区块链安全，又能在其他方面产生价值的解谜运算，则更完美。而素数币算法的核心理念，是在做解谜运算的同时寻找大素数，正是“最让人振奋人心的成果”。

在素数币的官方网站http://primecoin.io上，也宣称了素数币的这一优点。

六、基于PTE等幂和素数解的加密数字货币

在目前我对于比特币、素数币以及区块链技术的理解的基础上，我认为，基于PTE等幂和素数解的加密数字货币方案，不但具备素数币的全部优点，且各方面技术特征均优于或等同于素数币，因此，很有可能成为一种理想的加密数字货币。为叙述方便，下文简称为PTE货币方案。

1）PTE货币方案和素数币，在数学本质上，同样属于寻找特定间距的多生素数链，但素数币只限制在三种形式的坎宁安链，而PTE货币方案的多生素数链的形式极其丰富，差不多是每一组PTE等幂和的解，都对应一种形式的多生素数链。因此，PTE货币方案在产生新的区块的速度方面，肯定大大优于素数币。

2）不同次幂的PTE等幂和素数解，其求解难度形成显著的梯度，例如寻找6次方的PTE等幂和素数解的难度比5次方的素数解要难一个级别，符合挖矿算法对于“可以调整的难度”的核心要求。不同长度的素数币也符合这一要求。

3）对于挖矿算法的“快速验证”这一要求，按我目前的理解和设想，PTE货币方案可以通过简单快速的方法来验证，不需要像素数币那样做素性测试，因此验证速度将比素数币和比特币都快得多，这将大大加快数字货币在区块链上的交易时间。

4）和素数币、比特币一样，PTE货币方案符合“无关过程属性”的挖矿算法要求。

5）更为重要的，从有效工作量的角度看，PTE等幂和问题已有两百多年的研究历史，在数学上的研究意义远高于坎宁安链。因此，PTE货币方案对社会带来有益贡献，不会造成资源的浪费。

6）PTE等幂和素数解，是基于PTE等幂和整数解的基础上的，因此，对于绝大多数PTE货币方案的挖矿工，无需具备数学知识，单纯运行程序即可。但对于少数具备高超的数学能力者，可以通过自行创新算法，挑战更高幂次的PTE等幂和，从而可望获得可观的货币回报（只需要把PTE货币方案设计成幂次越高，回报大幅度提升）。这种货币方案，增加了挖矿工的解谜选择维度，也会大大加快数学研究的进程。这是比特币和素数币都不可能具备的特征。

7）在解谜方案的设计上，限制ASIC挖矿被人们认为是一个挑战。PTE等幂和的求解可望有效地解决这一困惑。由于PTE等幂和的素数解是先基于PTE等幂和的整数解的，求解全新的整数解的过程，需要算法上的创新和高速运算能力上的投入，ASIC方式是最高效的，而且有非常实际的数学研究价值，可以通过机制的设计去保证这方面ASIC挖矿的投资回报；而求解素数解的过程，算法简单，仅依靠大容量的内存空间和高速运算，ASIC挖矿的回报必然不及CPU/GPU挖矿，从而自动限制了ASIC挖矿。

8）上面7点的讨论中，都是基于PTE等幂和的素数解 （此时k=1,2, 3, ..., n），但更一般的等幂和的素数解（此时k=k₁, k₂, ..., k_n）也是普遍存在的，在目前为止已经找到素数解的19种等幂和类型中，9种属于PTE等幂和，其余10种属于一般的等幂和。一般的等幂和素数解没有类似求PTE等幂和素数解的通用高效算法，PTE等幂和素数解的搜索求解更接近比特币、素数币等的挖矿方式；而一般等幂和素数解的搜索求解，更适合中心化的挖矿模式，甚至是政府行为，这将为引入政府的监管和调节机制提供了可能性（PTE货币方案的去中心化特征不会受到影响）。这一点，是其他加密数字货币不具备的。

华罗庚是世界公认的一流数学家，他对包括对等幂和问题整数解的存在范围等多方面的理论研究成果，至今仍是国际领先。华罗庚在1960年代起，推广“优选法、统筹法”，致力于数学在经济发展中的应用。

七十八年前，华罗庚证明了等幂和素数解的存在性，七十八年后，我找到了具体的素数解。面对以区块链技术为核心的金融科技热潮，我将对基于等幂和素数解的加密数字货币方案的可行性作深入的研究，这将是一项有趣而充满挑战的艰巨工作，但若该方案具备成为一种理想甚至完美的加密数字货币的可行性，无论在加速基础数学研究和驱动金融科技创新方面，其想象空间都是非常巨大的。