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关于“开关串联控灯电路”实质蕴涵怪论反例的讨论(3)
现在来观察一个奇怪的现象。按照Graham Priest的观点,将场景想象成“开关串联控灯电路”,发生了如果开关x通了,则那盏灯亮,或者,如果开关y 通了,则那盏灯亮的情况是很奇怪的。那么如果将场景想象成“并联开关控灯电路”(就是两个开关并联连接控制灯的亮或不亮),就会有:如果开关x通了,则那盏灯亮,或者,如果开关y 通了,则那盏灯亮的情况就是相当正常的了,也就是在将场景想象成“并联开关控灯电路”的条件下,怪论就消失了。
出现的奇怪现象提示:通过对 $(p\wedge q\rightarrow r)$ 或者 $(p\rightarrow r)\vee (q\rightarrow r)$ 实例化来表示“开关串联控灯电路”是不完整的。也就是说,“开关串联控灯电路”完整的逻辑抽象不是 $(p\wedge q\rightarrow r)" style="font-size:14px;font-family:宋体;$ 或者 $(p\rightarrow r)\vee (q\rightarrow r)" style="font-family:宋体;line-height:24px;$ 。
实际上,“开关串联控灯电路”对应的命题形式(表示两个开关串联控制灯亮或不亮)应该是: $(p\wedge q\rightarrow r)\wedge(p\wedge \neg q\rightarrow \neg r)\wedge (\neg p\wedge q\rightarrow \neg r)\wedge(\neg p\wedge \neg q\rightarrow \neg r)" style="font-family:宋体;$ 。其中 $(p\wedge q\rightarrow r)$ 仅表示串联电路中的一种情况,即:如果开关x和开关y都闭合,则灯亮。
3 问题(iii)的讨论
最后,来考虑问题(iii)。
众所周知,命题逻辑理论一个基本要求是:从前提进行推导时,必须明确前提,每一步的推导都要合理,不可超越某逻辑系统全部规定的界限。需引起注意的是:借助重言式进行推导可能会导致随意确定前提的情况发生。Graham Priest“开关串联控灯电路”反例就是发生这种情况的典型例子。
接下去的讨论假定读者都已充分了解自然推理系统与重言式公理系统之间的等价性。众所周知,重言式形式系统不能直接刻画逻辑推导关系,因此需要把要讨论的问题转换到自然推理系统中去。
重言式 $(p\wedge q\rightarrow r)\rightarrow (p\rightarrow r)\vee (q\rightarrow r)$ 在自然推理中可表示为 $(p\wedge q\rightarrow r)\vdash (p\rightarrow r)\vee (q\rightarrow r)$ 。这里, $(p\wedge q\rightarrow r)$ 是前提, $(p\rightarrow r)\vee (q\rightarrow r)$ 是结论, $(p\wedge q\rightarrow r)\vdash (p\rightarrow r)\vee (q\rightarrow r)" style="font-family:宋体;line-height:24px;$ 表示从前提 $(p\wedge q\rightarrow r)" style="font-family:宋体;line-height:24px;$ 可推出结论 $(p\rightarrow r)\vee (q\rightarrow r)" style="font-family:宋体;line-height:24px;$ 。将 $(p\wedge q\rightarrow r)" style="font-family:宋体;line-height:24px;$ 作为前提,就是肯定 $(p\wedge q\rightarrow r)" style="font-family:宋体;line-height:24px;$ ,换而言之,就是不发生 $p\wedge q$ 为真并且 $r$ 为假的情况。但是很明显 $(p\wedge q\rightarrow r)\nvdash r$ ,从前提 $(p\wedge q\rightarrow r)" style="font-size:14px;line-height:24px;font-family:宋体;$ 是推不出结论 $r$ 的。只有 $(p\wedge q\rightarrow r),p, q\vdash r$ ,即只有从前提 $(p\wedge q\rightarrow r),p, q$ 才能推出结论 $r$ 。
注意到 $(p\wedge q\rightarrow r)\rightarrow (p\rightarrow r)\vee (q\rightarrow r)$ 和 $(p\rightarrow r)\vee (q\rightarrow r)\rightarrow(p\wedge q\rightarrow r)$ 都是重言式,那么 $(p\wedge q\rightarrow r)" style="font-family:宋体;line-height:24px;$ 与 $(p\rightarrow r)\vee (q\rightarrow r)" style="font-family:宋体;line-height:24px;$ 是逻辑等值的。从而可知, $(p\rightarrow r)\vee (q\rightarrow r)\nvdash r$ ,即从前提 $(p\rightarrow r)\vee (q\rightarrow r)" style="font-size:14px;line-height:24px;font-family:宋体;$ 也是推不出结论 $r$ 。
容易证明 $(p\rightarrow r)\vee (q\rightarrow r),p,\neg q\nvdash r$ 。这个推导公式说明了从前提 $(p\rightarrow r)\vee (q\rightarrow r),p,\neg q$ 是推不出 $r$ ,也就是从前提“如果开关x通了,则那盏灯亮,或者,如果开关y 通了,则那盏灯亮”,“开关x通了”和“开关y断路”,是推不出结论“那盏灯亮”。同样可以证明 $(p\rightarrow r)\vee (q\rightarrow r),\neg p,q\nvdash r$ 。这个推导公式说明了从前提 $(p\rightarrow r)\vee (q\rightarrow r),\neg p,q$ 是推不出 $r" style="font-family:宋体;line-height:24px;$ ,也就是从前提“如果开关x通了,则那盏灯亮,或者,如果开关y 通了,则那盏灯亮”,“开关x断路”和“开关y通了”,是推不出结论“那盏灯亮”的。
那么Graham Priest提出的“开关串联控灯电路”反例到底在哪里出了问题呢?(待续)
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