《光学学报》于2023年43卷第08期推出“现代光学设计与制造”王涌天、程德文教授团队特邀综述“复杂光学曲面数理描述和设计方法研究”，被选为本期封面文章。

封面解析

        封面展示了一种特殊的复杂光学曲面——非均匀有理B样条曲面，呈现了复杂光学曲面描述方法自由度多、灵活性强、局部面形可调控等特点，具有很好的优化潜力；同时配合高效的面形调控方法，可以充分发挥其优化潜力。因此对于复杂光学成像系统的设计来说，探索灵活多变、能够描述复杂形状、像差校正能力强且光线追迹和优化收敛速度都比较快的光学面形表征方法，以及高效的光学曲面形貌控制方法至关重要。

《光学学报》2023年第08期封面文章 |程德文, 陈海龙, 王涌天, 杨通. 复杂光学曲面数理描述和设计方法研究[J].光学学报, 2023, 43(8): 0822008.

导读

        为满足高性能光学系统的设计要求，需要研究面形灵活可控的光学曲面数理描述方法和其相应的分析及设计方法。具有更多自由度的复杂光学曲面可以有效提升光学系统的性能。本文讨论了光学曲面的数理描述方法，概括性地介绍了光学曲面数理描述方法的研究现状与进展，归纳总结了新的复杂光学曲面数理描述方程，并对曲面数理描述方法的未来发展进行了讨论和展望。

研究背景

        在完成光学系统结构选型以及确定光学元件数量后，元件表面的数理描述方法在很大程度上影响着系统的像差校正结果和成像性能，决定了光线追迹速度和优化收敛速度，也会影响到曲面加工、检测的难易程度，从而影响光电系统整体的研发周期和成本。随着光学系统的复杂化，传统光学曲面描述方法自由度严重不足，难以满足设计要求，需要更加有效的复杂光学曲面数理描述和调控方法。

        目前大部分光学曲面的描述方法为由显式方程定义的全局描述曲面。对于具有显示定义的光学曲面来说，一般使用的笛卡尔坐标系XYZ来描述。其中，光学系统的光轴沿Z轴方向，光学表面的顶点位于坐标原点。图1展示了常见的二次曲面在YOZ平面内的轮廓图。

图1 不同类型二次曲面在YOZ平面内的轮廓

复杂光学曲面数理描述和设计方法研究

        尽管复杂光学曲面在校正光学系统像差、减小系统体积、减少元件使用数量等方面发挥了重要的作用，但是对于某些类型的光学系统，高效的曲面数理描述方法仍然缺乏。同时在使用复杂曲面进行光学系统优化设计时，我们仍需谨慎，需要对复杂曲面的形貌进行控制：一方面是为了确保光学元件的可制造性和可检测性；另外一方面是可以节约相应时间，降低成本。针对以上这些问题，课题组长期深耕于复杂光学曲面技术领域，完成了以下研究工作：

1）为有效控制面形，设计师一般仅使用复杂曲面中的低阶项系数作为变量进行优化设计。然而从宏观角度来说，这种方式减少了设计自由度，降低了得到更优解的可能性，违背了复杂曲面灵活多变、描述能力更强的初衷。设计师如果对面形具有很强的控制能力，就不妨大胆地使用高阶、多项表面参数进行优化设计。为此提出：可以通过控制曲面的一阶和二阶偏导数，以及曲面高斯曲率（最大和最小局部曲率）等来实现对复杂曲面的面形调控。

2）提出一种实现复杂光学曲面的有效途径：将一个完整曲面划分为几个子曲面，并用现有光学曲面分别描述各个子曲面，同时控制相邻子曲面，使其相互之间保持光滑连接，进而确保几个子曲面在数学描述上仍构成一个完整的曲面。以这种方式生成的复杂曲面描述方法称为拼接曲面。本课题组从曲面的灵活性和连续性两方面考虑，分别提出了旋转对称式拼接非球面、旋转对称式分段环形曲面、非旋转对称式拼接自由曲面三种新型的拼接曲面。

3）在现有的光学曲面描述方法中，经常采用多项式来扩展曲面的自由度，理论上来说，多项式的阶次可以无限扩展，因此这种描述方法具有较好的灵活性。为了解决实际应用中的设计问题，提出双曲率二次曲面基底多项式曲面、离轴二次曲面基底多项式曲面，并对Alvarez特殊变焦系统的优化设计进行了研究。

4）面形局部描述曲面，可以控制曲面局部的面形变化，但不影响离它有一定距离的其他区域，具有非常优秀的灵活性。但目前对其应用的研究较少，且缺少基础理论支撑。提出基于高斯基函数自由曲面的光学元件集成化设计方法，研究了非均匀有理B样条曲面在曲面拟合、快速光线追迹等方面的应用。

未来展望

        在过去的几十年间，光学曲面从描述方法到实际应用方面都有了巨大突破，但是复杂光学曲面的描述、设计、加工和检测仍然面临许多问题与挑战，存在诸多亟待解决的难题以及值得探索的方向。通过研究灵活可控的复杂光学曲面数理描述方法以及面形控制、设计方法，设计师就可大幅增加有效的设计自由度，设计出更高性能的光学系统，这能够有效促进光电设备的快速发展。

课题组简介

        北京理工大学光学成像与计算实验室，依托光电成像技术与系统教育部重点实验室、北京市混合现实与新型显示工程技术研究中心、虚拟现实/增强现实（VR/AR）技术及应用国家工程实验室，团队在王涌天教授带领下长期在光学设计（深度学习）、自由曲面光学、VR/AR显示技术、计算光学与计算成像等方向开展深入研究。核心成员包括程德文教授（优青，自由曲面成像，VR/AR等）、冯泽心长聘副教授（自由曲面照明，计算成像）、杨通长聘副教授（青年托举人才，自由曲面成像，深度学习）、池骋（青年托举人才，微纳光学）和熊江浩（液晶全息，VR/AR）预聘助理教授。近年来发表论文100余篇，SCI收录60余篇，授权国家发明专利50余项(11项转化) ，国际专利10余项(5项转化)。荣获2011年“中国光学重要成果奖”、2017年中国光学工程学会 “创新技术奖一等奖”、2019年中国产学研合作创新成果奖一等奖、2019年北京市技术发明一等奖、2022年中国科促会技术创新奖一等奖。基于近30年理论和应用技术研究成果，研制了轻薄型头戴显示器并成功应用到国内外众多单位，产生了重大的社会价值和经济效益。

科学校对 | 程德文; 陈海龙 ;王涌天; 杨通

编辑 | 王晓琰